La notion dĠentrelacs, ŽclairŽe par le thŽorme dĠAlexander

(PublicitŽ mathŽmatique – sŽance Qui-vive du 12 dŽcembre 2013)

 

LĠentrelacs est une notion commune que nous allons essayer de mieux comprendre ˆ la lumire des mathŽmatiques : aprs la notion de singularitŽ, ŽclairŽe par le thŽorme dĠHironaka (1964) et la notion dĠŽmergence, ŽclairŽe par le thŽorme dĠAndrŽe Ehresmann (1999), avant les notions dĠadjonction et dĠextension que nous Žclairerons en mars prochain par des thŽormes dĠƒvariste Galois (1832) et de Richard Dedekind (1872), voici la notion dĠentrelacs que nous allons Žclairer par le thŽorme dĠAlexander (1923) [1].

 

Pourquoi privilŽgier aujourdĠhui cette notion dĠentrelacs ?

DĠabord parce quĠelle est au cÏur de ces sŽances Qui-vive puisquĠil sĠy agit dĠentrelacer dix rubriques successives – dont cette rubrique mathŽmatique en cours – mais aussi, parfois, dĠentrelacer ˆ lĠintŽrieur dĠune seule rubrique plusieurs discours simultanŽs – par exemple un discours filmique, un discours musical et un discours littŽraire.

 

Un entrelacs est lĠenchevtrement de plusieurs composantes fermŽes sur elles-mmes. LĠexemple le plus connu est celui quĠon appelle borromŽen et qui, communŽment, comporte trois boucles.

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1. entrelacs borromŽen (de 3 composantes)

Songeons aussi aux trajectoires enchevtrŽes des plantes tournant autour de la mme Žtoile, qui composent un entrelacs dĠorbites planŽtaires. Ces composantes de lĠentrelacs, les mathŽmaticiens les appellent des nÏuds.

Un nÏud nĠest pas un brin lequel, mme enchevtrŽ, reste ouvert ˆ ses extrŽmitŽs ; un nÏud est refermŽ sur lui-mme :

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2. un brin     et un nÏud

Les nÏuds des mathŽmaticiens sont bien plus compliquŽs que de simples cercles : ils se torsadent et sĠenchevtrent sur eux-mmes en sorte de former par exemple un nÏud de trfle :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:nÏud de trèfle.jpeg

3. nÏud de trfle

ou un nÏud dit Ç de huit È :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:nÏud en huit (achiral).jpeg

4. nÏud en huit

Un nÏud sera dit trivial sĠil est rŽductible ˆ un cercle [2] et non trivial dans le cas contraire :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:nÏuds non isotopes.jpeg

5. nÏud de trfle non homŽomorphe ˆ un nÏud trivial

 mais dŽterminer si tel nÏud est ou non trivial ne va pas toujours de soi :

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6. nÏuds triviauxÉ

DŽterminer si deux nÏuds sont ou non Žquivalents [3] est encore plus difficile :

Description : Macintosh HD:Users:francoisnicolas:Desktop:classification de nÏuds.jpeg

7. extrait dĠune classification des nÏuds par Tait en 1885

Adoptons ce soir un vocabulaire intuitif : parlons de boucles plut™t que de nÏuds et posons quĠun entrelacs est fait de plusieurs boucles. Par exemple, cet entrelacs [4] est fait de deux boucles :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:entrelacs de Whitehead.jpeg

8. entrelacs de Whitehead

On sĠattend, bien sžr, ˆ ce que ces entrelacs solidarisent les diffŽrentes boucles concernŽes cĠest-ˆ-dire les entrelacent effectivement en sorte quĠon ne puisse plus dŽtacher lĠune des boucles sauf en lĠouvrant, en la coupant par exemple.

Les mathŽmaticiens vont classer les entrelacs non seulement par leur nombre de boucles mais aussi par leur degrŽ dĠentrelacement.

Voici deux entrelacs de deux boucles mais de degrŽs [5] dĠentrelacement diffŽrents (0 ˆ gauche, 1 ˆ droite) :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:entrelacs.jpeg

9. deux entrelacs non Žquivalents !

Entrelacer revient ˆ conjoindre les diffŽrentes boucles dĠune manire particulire : il ne sĠagit ni de serrer un nÏud, ni ˆ proprement parler de les attacher, moins encore de les coller ; en effet, chaque boucle garde ici ses mouvements indŽpendants, son autonomie relative lors mme que lĠensemble est dŽsormais solidaire, insŽparable, en un certain sens coordonnŽ (comme en atteste lĠentrelacs borromŽen avec lequel joue ma main gauche).

CĠest cette idŽe dĠune solidaritŽ globale entre une pluralitŽ dĠautonomies relatives qui rend la notion dĠentrelacs fort intŽressante.

 

Pensons par exemple ˆ un film fait de trois bandes synchrones : celle des images, celle de la musique, celle du texte profŽrŽ ou ˆ lire.

La figure Ç classique È de cet assemblage consiste ˆ conjoindre, point par point, ces trois bandes : ainsi on va voir et entendre qui parle, la musique va venir commenter ce quĠon voit, etc.

SŽparons maintenant ces composantes : on va voir quelquĠun parler sans pour autant lĠentendre ; on va entendre quelquĠun parler sans pour autant comprendre ce quĠil dit ; on va comprendre que quelquĠun parle sans pour autant le voir ; on va entendre des bruits naturels tout en voyant autre chose ; etc. Comment alors faire tenir ensemble, en Ç un È seul film, ces composantes autonomes ? Peut-on le faire en les entrelaant, non pas en les synthŽtisant autour du fil conducteur dĠune narration mais en tressant les trois discours relativement autonomes et exposŽs simultanŽment ? Le cinŽma moderne nĠa eu de cesse de travailler sur ces questions.

LĠopŽra contemporain peut-il faire de mme en dŽveloppant simultanŽment un discours musical, un discours littŽraire chantŽ et un discours visuel thŽ‰tralisŽ ? Peut-on plus largement imaginer de nouvelles figures du commun, un commun qui ne soit plus synthŽtique, amalgamŽ mais qui prŽserve un jeu autonome de ses composantes individuelles ? Vous pressentez les enjeux idŽologiques de cette notion dĠentrelacs.

 

LĠintŽrt des mathŽmatiques va tre de nous aider ˆ formaliser cette question : comment sĠinspirer des formes mathŽmatiques pour donner forme tant™t cinŽmatographique, tant™t musicale, tant™t plus gŽnŽrale (comme lors de nos sŽances Qui-vive) ˆ cette idŽe dĠentrelacs ?

La mathŽmatique du XXĦ sicle a explorŽ ces questions en sĠattachant ˆ algŽbriser ce qui sĠavance, de prime abord, comme gŽomŽtrie ou plus exactement comme topologie. [6]

La topologie, cĠest la gŽomŽtrie du caoutchouc : on ne sĠy occupe ni de mesure, ni de droites ou dĠangles mais de continuitŽ. Dans lĠalgbre des chemins (quĠon appelle homotopie), on va par exemple se demander si lĠon peut relier ˆ pied Paris ˆ Berlin et Paris ˆ Londres (sans sĠoccuper de la distance ˆ couvrir). On va alors remarquer quĠil y a bien un chemin pŽdestre [7] pour le premier mais pas pour le second puisquĠune mer sŽpare Londres de Paris. On se demandera de mme si se promener autour de Paris est identique ˆ se promener autour de Genve et lĠon remarquera que ce nĠest pas le cas car, Genve Žtant au bord du lac LŽman, une promenade qui contourne la ville peut ici vous emmener fort loin.

 

Tout ceci relve encore dĠune description visuelle : il y a des chemins pŽdestres continus, et dĠautres qui sĠarrtent ; il y a des boucles pŽdestres quĠon pourra resserrer sur elles-mmes (tel le tour de Paris) et dĠautres quĠon ne pourra pas car elles contournent un trou (le lac LŽman infranchissable ˆ pied).

LĠapport dŽcisif  de lĠalgbre va tre dĠouvrir un calcul de ces chemins, lacets, brins, boucles, entrelacs, tresses : non pas un calcul gŽomŽtrique (des distances par exemple) mais un calcul autorisant les classifications pertinentes [8] qui vont permettre de distinguer le mme et lĠautre dans ce monde des boucles et des brins, des entrelacs et des tresses [9].

 

Calculer ici, cĠest dĠabord Žcrire les figures concernŽes avec des lettres sŽparŽes et non plus seulement les dessiner avec des traits continus – un peu comme on Žcrit x2+y2=1 ˆ la place du dessin dĠun cercle. CĠest ensuite calculer sur ces lettres, comme on calcule sur une Žquation ou sur un polyn™me. Comme tout calcul, celui-ci comportera alors une part automatisable (donc en partie aveugle) mais il ne relvera pas pour autant dĠune simple technique : il restera lĠaffaire dĠune pensŽe, prŽcisŽment cette pensŽe algŽbrique que les Arabes ont inaugurŽe [10] ˆ partir du IXĦ sicle.

 

La difficultŽ est alors : comment calculer sur nos entrelacs ? Comment le calcul peut-il sĠincorporer aux figures prŽcŽdentes ? En particulier quel calcul pourra mesurer le degrŽ de ressemblance et de diffŽrence entre deux nÏuds, entre deux entrelacs ?

Ainsi, soit deux dessins diffŽrents de nÏuds : diffŽrent-ils seulement par leur angle de vue (comme dans les deux images du mme nÏud de trfle – voir figure nĦ2) ou diffrent-ils plus essentiellement par leur manire de se refermer sur eux-mmes ?

Pour ce faire, la mathŽmatique va commencer par identifier les chevauchements et torsions ŽlŽmentaires, les orienter et les classer, puis les dŽcompter et enfin inventer une manire de les sommer. [11] Tout ceci va conduire ˆ la construction dĠune forme algŽbrique singulire : celle de polyn™mes spŽcifiques quĠon appelle Ç polyn™mes dĠAlexander È pour les nÏuds [12] et Ç polyn™mes de Jones È pour les entrelacs [13].

Voici par exemple le polyn™me dĠAlexander de notre nÏud de trfle :

Description : noeudbo

10. Polyn™me dĠAlexander : 1-t+t2

(on nĠexpliquera pas, dans cette introduction, ce que t signifie exactement ici)

Et voici le polyn™me de Jones de notre bon vieil entrelacs borromŽen ˆ trois boucles :

Description : Macintosh HD:Maths:Borroméen:borromee1.jpgDescription : Macintosh HD:Maths:Borroméen:borromeeelliptique2.jpgDescription : Macintosh HD:Maths:Borroméen:borromeeelliptique3.jpg

11. Polyn™me de Jones : X2 + 2XY - Y-2 + Y2 - 2X-1Y-1 + X-2Y-2 - X-2

(passons, lˆ encore, sur le sens des X et YÉ) [14]

 

Voyons plus en dŽtail lĠŽtablissement de ces calculs.

Pour les entrelacs, la mathŽmatique commence par dŽcompter le nombre de boucles entrelacŽes [15] : deux entrelacs diffreront sžrement sĠils nĠentrelacent pas le mme nombre de boucles. Mais dŽcompter sans erreur le nombre de boucles ne va dŽjˆ nullement de soi, par exemple dans ce cas :

Description : https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTA4qAh6N9AyKBlJFuFpIfEwsfr81RD5ZUsJpPAUnZ3w5XTIjT4eg

12. Combien de nÏuds-boucles ?

Ensuite la mathŽmatique entreprend de compter le nombre dĠentrecroisements ou dĠentortillements entre ces boucles [16]. La chose est dĠautant plus compliquŽe quĠon travaille non sur des entrelacs matŽrialisŽs en volumes dans lĠespace (comme avec notre prŽcŽdente boule dĠŽlastiques) mais sur leurs reprŽsentations planes. Dans ces conditions, ne pas confondre replis et boucles ne va nullement de soi, comme le rappelle cet exemple ŽlŽmentaire de projection :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:projection.jpeg

13. Projection Ç repliante È du nÏud trivial

La difficultŽ va sĠaccuser de plusieurs crans avec les entrelacs dĠau moins trois boucles. Imaginez alors le problme pour des entrelacs ˆ n boucles, ceux bien sžr qui intŽressent les mathŽmaticiens !

CĠest ici que la composition de nos polyn™mes, terme par terme, entre alors en scne.

On ne peut dŽtailler ici leur construction : elle est assez compliquŽe et pas nŽcessairement intuitive. Le rŽsultat est quand mme quĠon peut associer ˆ de telles projections une mesure algŽbrique, exacte et sžre, de leur degrŽ dĠentrelacement en sorte quĠon dispose ainsi, avec ces polyn™mes, dĠinstruments fiables pour dŽmler le semblable et le diffŽrent en matire de boucles et dĠentrelacs. [17]

Donc si vous voulez prendre mesure de la complexitŽ dĠun entrelacs donnŽ, construisez-en le polyn™me de Jones !

 

Vous me direz : Ç la belle affaire ! LĠopŽration est trop compliquŽe, qui plus est pour un rŽsultat plut™t abstrait : que pourrais-je bien faire du polyn™me de Jones du film Muriel, entrelaant les images dĠAlain Resnais, le texte de Jean Cayrol et la musique de Hans Henze ? È

Je vous rŽpondrai : Ç certes, mais vous savez au moins quĠavec du travail, vous pouvez disposer dĠune mesure absolue de sa puissance dĠentrelacement. Vous savez donc que son entrelacement ne relve pas de lĠineffable, de lĠinconnaissable, de lĠinaccessible, ni non plus nĠest livrŽ ˆ la relativitŽ des points de vue et opinions. Libre alors ˆ chacun de se donner ou non les moyens dĠaccŽder ˆ la chose mme ! È

Vous mĠobjecterez alors derechef : Ç dĠaccord pour vos boucles et entrelacements de boucles, mais un film nĠest pas une boucle et ses composantes sont des rubans ; or, on entrelace peut-tre des boucles, mais pas des rubans ! È

Je vous rŽpondrai alors, comme rŽpondait Socrate dans ses dialogues ˆ ses interlocuteurs fictifs : Ç objection intŽressante ! Mais prŽcisŽment – et je vous remercie de mĠavoir posŽ la question car elle me permet, de manire tout ˆ fait imprŽvue, de me sortir du gupier didactique dans lequel les polyn™mes mĠavaient enfermŽ -, la mathŽmatique vient en ce point mme – quel heureux hasard dŽcidŽment ! - nous instruire que raisonner sur un entrelacs de boucles ou sur une tresse de rubans, cĠest ˆ peu prs la mme chose – le mot ҈ peu prsÓ ayant ici un sens prŽcis sur lequel je reviendrai (puisquĠen mathŽmatiques, lĠexpression ҈ peu prsÓ nĠest pas elle-mme un ˆ peu prs !). È

 

CĠest ici que le thŽorme dĠAlexander va nous Žclairer.

Les mathŽmaticiens ont en effet rapprochŽ les entrelacs faits de nÏuds (nos boucles) des tresses faites de brins en explorant lĠŽquivalence suivante : [18]

entrelacs

tresse

nÏuds

brins

Voici par exemple une tresse faite de trois brins - vous voyez que notre film Ç moderne È peut tre vu comme une telle tresse ˆ trois brins : les trois discours simultanŽs des images, des mots et de la musique.

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:tresse des coiffeurs.jpeg

14. Tresse dite des coiffeurs

Lˆ encore, il nous faut Žtablir une mesure du mme et de lĠautre, en sorte, par exemple, de tenir que ces deux images sont deux prŽsentations diffŽrentes de la mme tresse triviale (faite de caoutchoucs parallles) :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:tresse triviale.jpeg

15. Tresse triviale !

Les mathŽmaticiens vont alors algŽbriser ces tresses comme ils le font pour les entrelacs.

Pour vous indiquer les premires Žtapes de cette algŽbrisation, ils commencent par distinguer des tresses ŽlŽmentaires (avec un seul croisement) et ils dŽmontrent ensuite que toute tresse peut se dŽcomposer en un produit de telles tresses ŽlŽmentaires ; dans la figure 16, on a ainsi une tresse ˆ 4 brins qui peut tre analysŽe comme lĠencha”nement de 4 tresses ŽlŽmentaires :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:produit de tresses élémentaires.jpeg

16. Tresse, produit de 4 tresses ŽlŽmentaires

Ce faisant, on se met ainsi ˆ dŽcomposer-recomposer les tresses en une arithmŽtique des tresses comme il y en a une des nÏuds et des entrelacs. Le mouvement doit tre minutieusement dŽcortiquŽ : un encha”nement peut simplifier au lieu de complexifier [19], comme dans lĠexemple suivant :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:produit de deux tresses.jpeg

17. Le produit de deux tresses non triviales peut tre une tresse triviale.

De fil en aiguille – si vous me permettez lĠimage, digne ici de Bouvard et PŽcuchet -, les mathŽmaticiens vont ainsi construire des algbres particulires, cĠest-ˆ-dire doter lĠespace des tresses de lois internes de composition.

 

Le point intŽressant, sur lequel nous conclurons cette petite leon, est la dŽmonstration par Alexander (en 1923) du fait que tout entrelacs peut tre gŽnŽrŽ par une tresse ayant autant de brins quĠil a de boucles : ˆ tout entrelacs correspond une tresse et une seule [20].

Ceci peut sĠillustrer par le schma suivant qui illustre la Ç fermeture È dĠune tresse en un entrelacs et qui montre donc comment on peut faire correspondre, ˆ toute tresse, au moins un entrelacs.

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:fermeture 1.jpeg

18. Fermeture dĠune tresse ˆ 4 brins

Mais, dans cet exemple, on ne peut savoir si lĠentrelacs aura le mme nombre de brins (4) que la tresse : selon la nature exacte de la tresse concernŽe, il pourra avoir 4, 3, 2 ou seulement une boucle !

Le cas suivant prŽcise la tresse concernŽe et conduit bien ˆ un entrelacs de 4 boucles :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:fermeture 2.jpeg

19. Fermeture dĠune tresse ˆ 4 brins en un entrelacs ˆ 4 boucles

On dispose ainsi dĠune correspondance bien Žtablie entre tresses et entrelacs, permettant de passer des unes aux autres.

Le thŽorme dĠAlexander va alors dŽmontrer quĠˆ un entrelacs donnŽ correspond une tresse et une seule :

ThŽorme dĠAlexander : un entrelacs une tresse

Voici par exemple la tresse borromŽenne, correspondant ˆ lĠentrelacs de mme nom :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2013:4. Décembre 2013:Publicité mathématique:Tresse borroméenne.pdf

20. Tresse borromŽenne ˆ 3 brins [21]

Mais lĠinverse nĠest pas vrai : ˆ une tresse donnŽe peut correspondre plusieurs entrelacs diffŽrents – cĠest ce que signifiait notre prŽcŽdent Ç ˆ peu prs È : Žtudier entrelacs et tresses, cĠest ˆ peu prs la mme chose ˆ ceci prs quĠune mme tresse peut correspondre ˆ plusieurs entrelacs diffŽrents.

Un second thŽorme – celui de Markov (1936) – va mesurer cette pluralitŽ dĠentrelacs pour une mme tresse en garantissant que les diffŽrents entrelacs qui correspondent ˆ une mme tresse peuvent tre transformŽs les uns en les autres par une suite finie dĠopŽrations ŽlŽmentaires appelŽes opŽrations de Markov. Ainsi les diffŽrents entrelacs fermant une mme tresse composent un ensemble restreint et de mme famille.

ThŽorme de Markov : une tresse plusieurs entrelacs apparentŽs

 

Il est temps de conclure, isnĠt it ?

Il sĠagit, au total, pour chacun de nous, dĠapprendre ˆ entrelacer, ou ˆ tresser (cĠest ˆ peu prs la mme chose, on lĠa vu) le matŽriau diversifiŽ qui nous est prŽsentŽ (successivement ou synchroniquement) lors dĠune soirŽe Qui-vive.

Faut-il pour cela construire intŽgralement le polyn™me de Jones de cette soirŽe : dŽcompter les brins, dŽnombrer les entrecroisements, les passages par-dessus et par-dessous, calculer les produits rŽsultant, sommer ces produits, etc. ? Non, bien sžr, mais il est toujours possible de repŽrer tel ou tel entrecroisement, de suivre tel brin venant localement sĠenrouler autour de tel autre, etc.

Ainsi, cette mathŽmatique nous Žclaire sur ce quĠentrelacer ou tresser veut dire : nŽgativement dĠabord, ce nĠest pas synthŽtiser, ni encha”ner, ni multiplier, ni additionner. Positivement, cela peut tre vu comme une nouvelle manire de mettre en commun, comme une production dĠun commun de type nouveau : un commun qui globalise sans totaliser, et qui solidarise sans dŽsautonomiser.

OpŽrer cette mise en commun pour les dix rubriques successives dĠune sŽance Qui-vive nŽcessite un public dĠopŽrateurs, ŽveillŽs et disposŽsÉ sur le qui-vive !

Nous vous remercions de rŽpondre ce soir ˆ ce dŽfi !

 

*

 

Bibliographie : Jean-Yves Le Dimet - NÏuds & tresses. Une introduction mathŽmatique (Vuibert, 2010)

 

RŽcapitulation



[1] La mathŽmatique concernŽe remonte ˆ Gauss, au dŽbut du XIXĦ sicle donc (il sĠagissait alors dĠŽtudier les lignes de force des champs magnŽtiques), mais son vŽritable essor sera le fait du XXĦ sicle.

[2] comme les trois composantes de lĠentrelacs borromŽen plus haut.

[3] homŽomorphes (en correspondance bijective bicontinue), disent les mathŽmaticiens

[4] dit de Whitehead

[5] ou indices

[6] PrŽcision : la mathŽmatique ne semble toujours pas conna”tre de critre (analytique) gŽnŽral permettant de dŽcider si deux courbes sont ou non entrelacŽes. Nous disposons donc actuellement dĠune mathŽmatique de lĠentrelacs plut™t que de lĠentrelacementÉ

[7] un lacet diront les mathŽmaticiens

[8] ce que les mathŽmaticiens appellent des classes dĠŽquivalence

[9] les mathŽmaticiens parlent ici de calcul homotopique (lĠhomotopie concerne les applications continues entre lacets).

[10] avec al-Khaw‰rizm”

[11] Ceci va donner lieu au thŽorme de Schubert (Horst Schubert : 1919-, et non pas le musicien !) qui dŽmontre que tout nÏud est dŽcomposable de manire unique en un produit fini de nÏuds premiers (selon un principe de dŽcomposition Žquivalent ˆ celui des nombres en arithmŽtique).

[12] 1926-1928

[13] 1984. Il faudra donc prs de 60 ans pour arriver ˆ gŽnŽraliser la chose !

[14] PrŽcisons : si on peut associer ˆ un nÏud ou ˆ un entrelacs un polyn™me et un seul, la rŽciproque nĠest pas vraie puisquĠun mme polyn™me regroupe prŽcisŽment les nÏuds ou entrelacs de mme type.

Point plus dŽlicat : apparemment on ne sait pas, pour un polyn™me donnŽ, sĠil correspond ou non ˆ un entrelacs.

[15] Les mathŽmaticiens lĠappellent la multiplicitŽ de lĠentrelacs.

[16] Les mathŽmaticiens lĠappellent le nombre dĠentrelacement de lĠentrelacs.

[17] Les mathŽmaticiens ont ainsi dŽgagŽ un Ç invariant È de nÏud qui se trouve calculable.

[18] La terminologie en anglais la formule ainsi : link/knotbraid/strand

[19] tout de mme que multiplier a/b et b/a conduitÉ ˆ 1

[20] Ç Tout entrelacs de multiplicitŽ n est isotope ˆ une tresse (fermŽe) de mme multiplicitŽ. È

[21] En un certain sens, tel serait donc le diagramme gŽnŽral du fil Muriel sĠil est vrai que ce film tresse de manire borromŽenne les trois discours de Resnais, Cayrol et Henze.