Adjonction & extension

(Publicité mathématique – séance Qui-vive du 18 décembre 2014)

 

 

Posons-nous cette question : peut-on bouleverser un domaine de fond en comble, sans avoir ą le détruire ? Peut-on le refondre globalement sans en faire préalablement table rase ? Peut-on le révolutionner de l’intérieur de lui-mźme plutôt que par assauts extérieurs dévastateurs ?

Conséquemment, si on choisit de le préserver plutôt que de le détruire, toute modification ne peut-elle źtre qu’un réaménagement partiel et local, qu’une simple réforme, que la tranquille inflexion d’un cours inentamé ?

 

Tournons-nous vers la pensée mathématique pour nous orienter et nous désenclaver de l’alternative : réforme conservatrice ou révolution destructrice.

Sous le couple des deux mots adjonction & extension, la mathématique va ainsi nous proposer une maniŹre de cheminer affirmativement dans notre lutte sur deux fronts : simultanément contre le traditionalisme de la continuité indéfinie et contre le modernisme de la discontinuité permanente.

 

 

Examinons pour cela comment Richard Dedekind a procédé en 1858 [a] pour bouleverser de fond en comble l’arithmétique ancestrale des nombres.

 

*

 

Le problŹme de départ est le suivant : on sait depuis les Grecs que √2 n’est pas un nombre rationnel c’est-ą-dire n’est pas la division de deux nombres entiers (tel 3/2 ou 89/25).

On ne peut avoir entier/entier=√2 (ce qui revient ą dire qu’on ne peut avoir entier2/entier2=2)

 

La démonstration de cette impossibilité est trŹs simple.

Vous pouvez tout d’abord réduire toute fraction entier/entier ą l’un des trois types suivants de fraction : impair/impair, pair/impair ou impair/pair.

Supposons alors qu’on puisse avoir entier/entier=√2 c’est-ą-dire entier2/entier2=2.

Cela voudrait dire qu’on a soit impair2/impair2=2, soit pair2/impair2=2, soit impair2/pair2=2.

1.     Le premier cas est trivialement impossible si l’on remarque que le carré d’un impair est un impair et qu’on ne saurait donc avoir : impair2=2*impair2 c’est-ą-dire impair=pair !

2.     Si maintenant on a pair2/impair2=2, cela veut dire qu’on a pair2=2*impair2.

Mais pair=2*nombre

pair2=4*nombre

donc 4*nombre=2*impair2

d’oĚ, en divisant par 2 les deux membres de l’équation : 2*nombre=impair2

ce qui est impossible puisque le premier terme est pair et le second impair !

3.     Si ą l’inverse on a impair2/pair2=2, cela veut dire qu’on aura impair2=2*pair2

c’est-ą-dire impair=pair, ce qui est également impossible.

Comme il y a trois possibilités et trois seulement, on en conclut qu’on ne peut avoir entier/entier=√2.

Cqfd.

 

Le point est alors : qu’est-ce exactement que √2 ? Quelle chose mathématique se trouve ainsi nommée par l’expression √2 ? Cette chose serait-elle un nombre entendu cette fois en un sens nouveau, un nombre d’un type nouveau qu’on dirait alors non rationnel, « irrationnel » ?

C’est ici que Dedekind va intervenir, 2400 ans plus tard !, pour construire une extension de la notion arithmétique de nombre par adjonction, aux nombres rationnels, de sa nouvelle notion de « coupure ».

Expliquons cela.

 

Dedekind part de ce constat : tout nombre existant (rationnel donc) partitionne l’ensemble ordonné des nombres (rationnels) – figurons-le par une droite - en deux parties disjointes non vides, adjacentes et telles que tout nombre de la partie gauche est inférieur ą tout nombre de la partie droite :

 

 

Dedekind appelle « coupure » un tel type de partition et constate qu’ą tout nombre rationnel, on peut associer une telle coupure et une seule (de l’ensemble  des nombres rationnels) : un nombre rationnel définit une coupure et une seule de l’ensemble .

L’idée trŹs simple mais géniale de Dedekind va źtre de renverser la proposition et de poser qu’ą toute coupure – on va voir qu’on peut « couper » autrement que par un nombre rationnel -, on va associer un nombre et un seul : toute coupure va ainsi définir un « nombre » et un seul (qui, lui, ne sera plus forcément rationnel).

On va passer ainsi du nombre-coupure ą la coupure-nombre.

 

Par exemple, on peut « couper » la droite des nombres rationnels positifs en deux parties selon que le carré du nombre est plus petit ou supérieur ą 2 [b] ; il suffit alors d’ajouter ą la partie gauche tous les nombres négatifs pour qu’on ait bien défini une « coupure » de au sens précédent : est entiŹrement réparti en deux parties disjointes non vides, adjacentes, et telles que tout nombre de gauche est inférieur ą tout nombre de droite.

 

 

Dedekind pose donc que toute coupure de définit un « nombre » en général (qui sera soit rationnel, soit irrationnel). L’ensemble de ces nombres sera dit celui des nombres réels (on le notera ).

Dans notre exemple, notre coupure définit ainsi le « nombre » √2 c’est-ą-dire le nombre (irrationnel) dont le carré vaut 2, mais on aurait pu, tout aussi bien, partitionner les nombres selon que leur carré est plus petit ou plus grand que 3 ou 5, que leur cube est plus petit ou plus grand que 7 ou 11, etc.

 

Le problŹme devient alors : mais n’est-ce pas un sophisme nominaliste que d’appeler « nombre » une telle coupure ?

Un nombre, c’est en effet une chose telle qu’on peut l’ordonner, l’additionner ou la soustraire, la multiplier ou la diviser ą d’autres nombres (de différents types : entiers, rationnels, etc.), etc.

Si une coupure définit bien un nombre, c’est donc qu’on doit pouvoir ordonner les coupures selon l’ordre « naturel » des nombres puis les additionner ou les multiplier avec les nombres rationnels (qu’on doit donc pouvoir donner sens ą des opération comme √3<2,  2+√2 ou 29*√3,5 - √7,35/0,86).

C’est ce que Dedekind va maintenant construire.

 

Donnons un seul exemple simple de cette construction, longue et compliquée : celui de l’addition de deux coupures.

Convenons de noter C(A|B) la coupure qui partage en deux parties disjointes A et B telles que tout nombre aA est inférieur ą tout nombre bB.

Soient deux coupures différentes C(A|B) et C’(A’|B’). Peut-on alors additionner C et C’ en sorte de construire la coupure C+C’ ?

 

 

Il va suffire pour cela de définir la nouvelle coupure qu’on notera C+C’ comme la coupure (A+A’|B+B’), c’est-ą-dire la coupure dont la partie de gauche est construite par addition de tout a avec tout a’ et la partie de droite par addition de tout b avec tout b’ :

 

 

Est-ce bien lą une coupure ?

Š       On vérifie d’abord que tout nombre de gauche y est bien inférieur ą tout nombre de droite : a+a’<b+b’.

Š       On en déduit que la partition est bien disjointe (un mźme nombre ne peut źtre ą la fois une somme a+a’ et une somme b+b’ : a+a’≠ b+b’).

Š        On vérifie enfin que cette partition est adjacente [c] :

C(A|B) - comme C’(A’|B’) - est adjacente par construction c’est-ą-dire que ε, a et b tels que (b-a) < ε (id. pour a’ et b’).

Il est alors facile de vérifier que C’(A+A’|B+B’) est également adjacente car ε’ a et b et a’ et b’ tels que [(b+b’)-(a+a’)] < ε’ [il suffit de prendre ε= ε’/2 puisque [(b+b’)-(a+a’) = (b-a) + (b’-a’)].

Š       On en conclut que tout nombre rationnel s’y trouve bien  et que la partition de est bien complŹte.

 

Pour vous en convaincre, prenons par exemple les deux coupures définies par les nombres 3 et 7.

On aura d’un côté a<3 et a’<7 ; de l’autre b≥3 et b’≥7.

On peut facilement en déduire que a+a’<10 et b+b’≥10 et donc que la somme de nos deux coupures correspond bien ą la coupure définie par le nombre-somme des deux nombres 3+7=10.

 

Selon le mźme processus, on peut définir la coupure √2+√3 et se mettre ainsi ą opérer sur toutes nos coupures-nombres comme on sait le faire avec les nombres-coupures rationnels.

 

Il faudrait vérifier également que cette nouvelle « addition » a bien toutes les propriétés de l’opération arithmétique addition c’est-ą-dire qu’elle est bien associative, commutative et possŹde un élément neutre…

 

L’ensemble des nombres ainsi construit par ce systŹme de coupures dans sera le corps des nombres réels.

 

On démontre alors que si l’on répŹte l’opération de coupure sur ce nouvel ensemble des nombres réels, toutes les coupures correspondent cette fois ą un nombre réel [d] : on ne sort plus de par cette opération de coupure – on dit que le nouvel ensemble est complet pour l’opération-coupure.

 

Une fois ceci construit, que constate-t-on ?

D’abord que dans notre nouvel ensemble de nombres , l’ensemble de départ – celui de seuls nombres rationnels – demeure inchangé, et qu’il devient une partie du nouvel ensemble étendu : .

Ensuite que les nouveaux nombres ainsi ajoutés ą sont bien plus nombreux que ceux de , et qu’ils le sont dans des proportions absolument invraisemblables, dans un rapport sans mesure : est littéralement noyé dans un ensemble plus vaste dont la taille l’excŹde en tous points et dans des proportions démesurées.

On dit que la taille de est dénombrable alors que celle de relŹve de la puissance du continu c’est-ą-dire d’une quantité qui déborde la premiŹre d’autant qu’on veut (cela sera démontré un siŹcle plus tard : en 1963 par Paul Cohen).

 

C’est ą ce titre qu’on dira que est une extension de obtenue par adjonction ą de l’opération coupure.

 

Cette adjonction-extension se matérialise donc par trois traits :

1.     demeure et n’est pas détruit ou dissout.

2.     devient une partie interne ą la nouvelle situation étendue, et ne constitue pas une piŹce extérieure, séparée du nouvel ensemble.

3.     se trouve incorporé ą un ensemble d’une tout autre échelle que lui, qui procŹde d’une refonte d’ensemble de ce qu’élément-nombre veut dire.

 

Ce processus va constituer pour nous le paradigme du bouleversement que nous cherchons.

En effet, n’est pas détruit par  : il persiste comme partie de , partie certes devenue infime mais partie quand mźme : n’a pas fait table rase de mais s’est construit ą partir de lui, de l’intérieur de (par des opérations immanentes ą , donc intelligibles pour tout habitant de  [e]), de telle maniŹre qu’il en vient ą le déborder de toutes parts.

n’est pas non plus une simple réforme de , une sorte de réaménagement local par quelques ajouts, quelques compléments de fortune, un simple prolongement : l’écart d’échelle entre et est abyssal lors mźme que procŹde bien de – mieux : de l’intérieur de .

Ainsi révolutionne le domaine des nombres sans détruire le domaine préexistant des nombres rationnels mais en le subsumant par le haut dans une vision devenue infiniment plus large de ce que nombre veut dire.

On a donc conquis un tout nouvel espace de pensée, non par une prolongation horizontale de l’ancien espace , ni par une destruction par le bas qui en aurait fait table rase mais en passant par le haut via l’affirmation d’une nouvelle opération – la « coupure » – qui vient bouleverser l’ancien monde en l’immergeant dans un nouveau monde infiniment plus vaste.

 

Si l’on appelle réforme la prolongation horizontale de la situation initiale et table rase sa destruction par le bas, accordez-moi d’appeler révolution culturelle son dépassement par le haut : on dira donc que Dedekind a procédé ą une révolution culturelle de la notion de nombre, l’étendant par adjonction (affirmative) d’une nouvelle opération.

 

*

 

Tel est donc le paradigme que nous propose la pensée mathématique. [f]

Peut-on, armé de ce paradigme, éclairer d’autres domaines de pensée oĚ se pose une question similaire : peut-on, de l’intérieur d’une situation, rompre globalement avec elle (et pas seulement la réformer localement) sans źtre pour cela acculé ą sa totale destruction ? Peut-on transformer une situation, non par ajout partiel et local (réforme), ni par négation totale (révolution destructrice) mais par supplémentation globale (révolution culturelle) ?

 

Reprenons synthétiquement notre exemple. L’adjonction-extension de Dedekind procŹde en trois temps.

1.     Le premier constitue de l’intérieur mźme de l’ancienne arithmétique (celle des nombres rationnels)  un réseau de mots nouveaux qui s’ajoute au lexique arithmétique existant : ce sont les coupures.

2.     Le second transforme ce mot en un nom venant désigner ce qui n’existe pas encore dans la situation considérée et qu’il s’agit d’y adjoindre : les nombres de type nouveau que seront les futurs nombres « irrationnels ».

3.     Le troisiŹme met en Ōuvre ce systŹme de nouveaux mots et noms dans un corps d’énoncés de type nouveau venant caractériser la nouvelle situation arithmétique étendue : ce sont ici les énoncés donnant sens ą une arithmétique de type nouveau (addition, multiplication, etc.) sur les coupures.

 

On synthétisera les trois temps cumulatifs de cette « révolution culturelle » en posant qu’elle enchaĒne un ajout lexical, une adjonction nominale et une extension énonciative.

 

ajout :

un mot

« coupure »

adjonction :

capacité de nomination

nombres de type nouveau : « irrationnels »

extension :

puissance d’énonciation

composition arithmétique d’un monde de type nouveau : 

 

Comment cette formalisation peut-elle éclairer d’autres domaines de pensée oĚ se pose également la question d’une possible refonte intégrale qui ne soit ni réformiste, ni tabula rasa ?

 

*

 

Donnons-en quatre rapides exemples, sélectionnés ce soir en sorte de résonner avec diverses composantes de notre séance Qui-vive.

En politique

Il y a d’abord l’extension du socialisme hérité de la Révolution d’Octobre (cette révolution qui parcourt les rues de Petrograd dans le poŹme Douze de Blok [g]) lorsqu’on lui adjoint, ą partir de 1958 en Chine, les communes populaires.

Ici, il s’agit bien d’abord d’ajouter un simple mot au lexique politique (celui de commune populaire) ; ce mot vient nommer le projet d’un collectif politique de type nouveau destiné alors, par travail politique systématique, ą engager rien moins qu’une extension du socialisme vers un communisme déprenant la politique émancipatrice de l’emprise des « États socialistes ».

En amour

Il y a de mźme l’extension d’un amour lorsqu’il s’adjoint un enfant.

Il en est ce soir directement question dans la correspondance entre Paul Celan et GisŹle de Lestrange [h] : il y a d’abord l’ajout d’un simple mot Éric, qui vient nommer une personne d’un type nouveau (un enfant, non un amant) venant se loger au cŌur de cet amour en sorte d’étendre et d’agrandir son monde selon « une nouvelle dimension et une nouvelle coordonnée. »

En religion

Il y a également l’extension dont le mot Christ est porteur ą la fin du mźme poŹme de Blok : c’est ici l’hypothŹse chrétienne que l’ajout du mot « Christ » aux côtés de l’ancien mot « Jésus » [Jésus-(trait d’union)-Christ] vient nommer l’adjonction ą l’humanité d’un homme de type nouveau, ressuscité et générique (un homme du commun qui matérialise la Gloire de l’incognito), en sorte que le collectif humain, par interaction systématique avec cette adjonction, puisse désormais engendrer une humanité étendue de type nouveau (l’Église générique de la communion des saints dont il est question dans le livre de l’Apocalypse).

En musique

On peut enfin envisager d’étendre au XXI° siŹcle la composition musicale en adjoignant ą l’ancienne polyphonie une hétérophonie : on le fera en ajoutant d’abord ce simple mot, puis en travaillant ce que ce mot peut nommer en matiŹre de nouvelles pratiques musicales en sorte d’énoncer – tant verbalement que musicalement – la maniŹre dont ces nouvelles pratiques peuvent féconder le monde-Musique, et mźme au-delą : les composantes d’une mźme séance Qui-vive ne relŹvent-elles pas entre elles d’une telle forme d’hétérophonie ?

 

 

mathématiques

politique

amour

religion

musique

ajout lexical

« coupure »

« commune populaire »

« Éric »

« Christ »

« hétérophonie »

adjonction nominale

des nombres

des collectifs

une personne

un homme

des pratiques musicales

de type nouveau

extension énonciative

une nouvelle arithmétique

un nouveau « socialisme »

un nouveau « monde »

une nouvelle humanité

une nouvelle situation musicale d’ensemble

 

*

 

Il est donc concevable de penser des situations fort disparates ą la lumiŹre des mathématiques : les mathématiques peuvent orienter la pensée ą condition que les mathématiques soient bien pour tous !

Les mathématiques sont un appui irremplaćable pour quiconque s’installe joyeusement sous leur féconde discipline.

Vivent les mathématiques au présent !

 

***



[a] TrŹs exactement le mercredi 24 novembre 1858 !

Il ne publiera son travail que quatorze ans plus tard : Continuité et nombres irrationnels : 1872

Voir, plus tard encore, son livre de 1888 :Was sind und was sollen die Zahlen ? Que sont et que représentent [ą quoi servent] les nombres ?

[b] On sait maintenant qu’il ne peut lui źtre égal…

[c] Adjacent signifie : il n’y a pas d’intervalle proprement dit entre les deux parties de la coupure ; on peut donc approcher d’aussi prŹs qu’on veut le point de coupure, aussi bien par la gauche que par la droite…

[d] On aura préalablement démontré que ce nouveau corps concorde avec pour les coupures qui correspondent ą un rationnel.

[e] Ce point, pour nous, est trŹs important : on construit l’extension de l’intérieur de la situation de départ, avec les matériaux qu’elle fournit ą tout habitant, non par importation de matériaux « tombés du ciel » ou opération « extra-terrestres »…

[f] On le retrouve, grosso modo, dans trois autres types d’adjonction-extension :

1.     l’extension algébrique de par adjonction des racines d’un polynôme donné (par exemple Ī√2 pour x2-2=0) ;

2.     l’extension surréelle de par adjonction de la notion de nombre surréel – voir John Conway : On Numbers and Games (1974) ; Harry Gonshor : An Introduction to the Theory of Surreal Numbers (1986) ; Alain Badiou : Le Nombre et les nombres (1990)

3.     l’extension-forcing d’un ensemble par adjonction d’une partie générique (Paul Cohen, 1963).

[g] séquence n°9 de notre séance

[h] séquence n°10 de notre séance