La notion dÕaveu ŽclairŽe par la gŽomŽtrie contemporaine

(PublicitŽ mathŽmatique – sŽance Qui-vive du 10 dŽcembre 2015)

 

Inscrivons notre leon de mathŽmatiques dans la thŽmatique proposŽe pour cette soirŽe : celle des secrets et de leurs aveux.

Bien sžr ni secret ni aveu ne constituent, ˆ proprement parler, des notions mathŽmatiques. Il sÕagira donc pour nous dÕen trouver des Žquivalents non arbitraires dans la pensŽe mathŽmatique en sorte dՎclairer notre problŽmatique selon une fiction rationnelle.

 

Je chercherai ce soir de tels Žquivalents dans la gŽomŽtrie contemporaine.

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Secret

Concernant la notion de secret, jÕen proposerai un Žquivalent mathŽmatique dans la notion de singularitŽ dont il a dŽjˆ ŽtŽ question lors dÕune prŽcŽdente leon [1] et dont on peut prendre pour exemple trs simple la pointe dÕun c™ne.

On posera que le secret du c™ne dans son ensemble rŽside en sa pointe cÕest-ˆ-dire en son seul endroit o une main le caressant viendra se faire piquer : comment se fait-il que le c™ne, partout lisse, engendre un point et un seul venant Žperonner la main ? Selon quelle loi secrte le c™ne vient-il aboutir et concentrer sa logique globale de composition en ce dard ?

Ceux qui Žtaient lˆ en juin 2013 se souviennent peut-tre de ce secret : cÕest tout simplement parce que le c™ne est engendrŽ par un plan enroulŽ et un cercle enroulant qui sont orthogonaux lÕun ˆ lÕautre et que ces deux composantes transverses, incompatibles entre elles, deviennent, en sa pointe, localement indiscernables.

Tel est le secret gŽomŽtrique de la pointe du c™ne, et plus gŽnŽralement dÕune singularitŽ dite algŽbrique (ceci nous vient du mathŽmaticien Hironaka) : deux orientations globalement incompatibles y deviennent localement confondues, ce qui engendre une apparence singulire ˆ laquelle on peut repŽrer la singularitŽ.

En un mot, le secret dÕune singularitŽ tient ˆ lÕindiscernabilitŽ locale dÕune incompatibilitŽ globale.

 

1.     Premire leon : le secret est celui du c™ne plut™t que celui simplement de sa pointe. Sa pointe fait signe apparent quÕil y a ici en jeu un secret - par la manifestation dÕune propriŽtŽ phŽnomŽnale Žtrange – mais le secret en question concerne lÕappariement non comprŽhensible dÕun c™ne presque partout lisse et dÕune unique pique ; il tient au fait que la pique est celle du c™ne. Autrement dit, le secret appara”t localement – en la pointe - mais il est un secret global – celui du c™ne avec sa pointe.

2.     Deuxime leon : le fait quÕil y a un secret est manifeste : au sens o lÕon en parle ici, un secret nÕest pas un phŽnomne dissimulŽ (quÕon ne verrait pas et quÕil suffirait dÕexhiber pour lՎponger) mais un phŽnomne apparent. Ce qui fait quÕil y a secret tient ˆ une composition intrinsque du c™ne, ˆ sa facture interne, non ˆ sa manipulation exogne : on parle donc ici de secret pour indiquer un secret pour la pensŽe : on ne comprend pas un phŽnomne (local) sensible opŽrant, pour lÕintelligible, comme sympt™me.

3.     Troisime leon : comprendre ce que le secret apparent fait nŽcessairement lˆ, cÕest lÕavouer. Avouer, cÕest comprendre, cÕest rendre intelligible le phŽnomne sensible, non pas lÕeffacer, le gommer, le supprimer ou le faire dispara”tre.

Tout ceci valide donc cette loi que Lacan Žnonce ainsi : Į un secret avouŽ reste un secret. Č

 

Notre point devient alors : comment avouer mathŽmatiquement un tel type de secret gŽomŽtrique ?

Aveu

Pour y introduire, partons dÕune citation un peu longue dÕAlexandre Grothendieck – le second mathŽmaticien au programme de notre sŽance.

Lisons-lˆ sous lÕhypothse - je crois raisonnable - que dŽmontrer un thŽorme, cÕest en avouer le secret : un thŽorme formule le secret dÕune chose ou dÕune propriŽtŽ mathŽmatique [2], et sa dŽmonstration avoue ˆ quoi tient ce secret cÕest-ˆ-dire de quelle nŽcessitŽ mathŽmatique ce secret procde.

 

Į Prenons la t‰che de dŽmontrer un thŽorme. [É] Je vois deux approches extrmes pour sÕy prendre.

-   LÕune est celle du marteau et du burin, quand le problme posŽ est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il sÕagit dÕatteindre lÕintŽrieur, la chair nourricire protŽgŽe par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits diffŽrents, jusquՈ ce que la coque se casse – et on est content. [É]

-   Dans la deuxime approche, on plonge la noix dans un liquide Žmollient, de lÕeau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour quÕelle pŽntre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque sÕassouplit au fil des semaines et des mois — quand le temps est mžr, une pression de la main suffit, la coque sÕouvre comme celle dÕun avocat mžr ˆ point ! Ou encore, on laisse mžrir la noix sous le soleil et sous la pluie et peut-tre aussi sous les gelŽes de lÕhiver. Quand le temps est mžr cÕest une pousse dŽlicate sortie de la substantifique chair qui aura percŽ la coque, comme en se jouant — ou pour mieux dire, la coque se sera ouverte dÕelle-mme, pour lui laisser passage. [É]  CÕest ŌlÕapproche de la merĶ, par submersion, absorption, dissolution — celle o, quand on nÕest pas trs attentif, rien ne semble se passer ˆ aucun moment. Č

Ainsi Į quand une situation, de la plus humble ˆ la plus vaste, a ŽtŽ comprise dans ses aspects essentiels, la dŽmonstration de ce qui est compris (et du reste) tombe comme un fruit mžr ˆ point alors que la dŽmonstration arrachŽe comme un fruit encore vert ˆ lÕarbre de la connaissance laisse un arrire-gožt dÕinsatisfaction, une frustration de notre soif, nullement apaisŽe. Č

 

Reprenons tout cela.

 

Si dŽmontrer un thŽorme, cÕest en percer le secret et lÕavouer, alors cet aveu peut se faire de deux manires : il peut tre arrachŽ par forage exogne (cÕest la voie de la frappe) ou il peut advenir de lui-mme, tomber tel un fruit mžr, et sÕavouer de faon endogne (cÕest la voie de lÕimmersion).

-   Concernant les secrets de nos singularitŽs algŽbriques, la voie de la frappe est celle dite de lՎclatement de la singularitŽ : on lui Į fait avouer Č son secret par la torture (cette torture que la mathŽmatique appelle Žclatement) ; cÕest celle de Hironaka.

-   La seconde voie, celle de lÕimmersion, cÕest celle de lՎclosion : la singularitŽ Į sÕavoue Č au fil dÕun dynamisme interne - cÕest celle de Perelman, le troisime mathŽmaticien ˆ notre programme.

 

Voyons cela sur notre exemple de singularitŽ : la pointe du c™ne.

ƒclatement

SuggŽrons [3] dÕabord ce quՎclatement veut dire.

Un c™ne a pour Žquation algŽbrique x2+y2=z2. Cette Žquation Žclaire notre surface comme composŽe de la somme verticale de cercles horizontaux (x2+y2) au rayon verticalement croissant (selon z).

LՎclatement, imposŽ de lÕextŽrieur ˆ notre c™ne, sÕapparente ˆ la rŽŽcriture de cette Žquation constituante au moyen dÕun changement de coordonnŽes (ce qui revient ˆ plonger notre c™ne dans un espace autrement structurŽ par u, v et w et, ce faisant, ˆ le dŽformer, et mme ˆ lՎclater) :

á      x=uw

á      y=vw

á      z=w

Ceci transforme notre Žquation de dŽpart de la manire suivante :

x2+y2-z2=0 u2w2+v2w2-w2=0 w2(u2+v2-1)=0

La nouvelle Žquation du c™ne se prŽsente dŽsormais comme lÕannulation dÕun produit de deux termes. Or, pour quÕun produit soit nul, il faut que lÕun ou lÕautre de ses termes soit nul.

Ici, pour avoir w2(u2+v2-1)=0, il faut donc soit que w2=0 (cÕest-ˆ-dire que w=0), soit que u2+v2-1=0 (cÕest-ˆ-dire que u2+v2=1), soit quÕils le soient en mme temps.

Ainsi lՎclatement de notre unique c™ne fait appara”tre deux nouvelles surfaces :

1.     un plan horizontal dՎquation  w=0

2.     un cylindre vertical de rayon 1 dՎquation u2+v2=1

Description : Description : c™ne        Description : Description : planDescription : Description : cylindre=Description : Description : plan-cylindre [4]

 

Notre nouvelle Žquation nous indique donc que notre c™ne peut tre compris comme le produit dÕun cylindre et dÕun plan perpendiculaire ˆ lÕaxe du cylindre. Comme lÕon sait, quand un plan coupe orthogonalement un cylindre, cela dŽcoupe un cercle. On retrouve ainsi lÕidŽe quÕun c™ne, cÕest le recollement – la somme - de cercles empilŽs le long dÕun axe perpendiculaire ˆ leur centre.

Il appara”t ce faisant que la singularitŽ de la pointe du c™ne procde de lՎcrasement, en un seul point, du cercle que le cylindre dŽcoupe sur le plan.

 

Vous voyez pourquoi cet Žclatement de la surface unique du c™ne en deux surfaces orthogonales lÕune ˆ lÕautre avoue le secret du c™ne par la voie dite Į du marteau et du burin Č : on a ici compltement dŽsarticulŽ notre c™ne, on lÕa fait Žclater en sorte de distinguer et percevoir ses composantes transverses mais, ce faisant, on a dŽtruit sa rŽalitŽ phŽnomŽnale de c™ne - on a, au passage, renvoyŽ la pointe du c™ne ˆ lÕinfini : cÕest dire la brutalitŽ avec laquelle on a manipulŽ ce c™ne qui ne nous demandait rien !

 

Cette premire modalitŽ de lÕaveu dŽtruit donc lÕapparence du c™ne et lui substitue une toute nouvelle apparence de son tre.

Philosophiquement dit, pour avouer lՐtre-lˆ de la pointe, lՎclatement brutalise lՐtre-lˆ global du c™ne dont la pointe est le sympt™me.

CÕest un peu comme si pour comprendre le secret dÕune excroissance sur un visage, vous dissŽquiez tout le corps concernŽ, et ce faisant le tuiez.

Cette mŽthode Į du marteau et du burin Č ne contredit donc pas la loi de Lacan : ce nÕest pas que lÕaveu du secret a ici effacŽ le secret de la chose ; cÕest plut™t que lÕaveu du secret de la chose a dŽtruit la chose elle-mme ; ou, dit autrement, ce nÕest pas que lÕaveu du sympt™me a dissous le sympt™me mais cÕest quÕil a pulvŽrisŽ cela mme dont le sympt™me Žtait sympt™me !

Posons : ici lÕaveu, bouleversant  la situation dont procde le secret, dŽtruit et le secret et ce dont il Žtait le secret. Appelons cela lÕaveu destructeur.

ƒclosion

LÕautre voie – celle dite de lÕimmersion - est celle de Perelman.

Elle est – ne le cachons pas – beaucoup plus ardue mathŽmatiquement.

Certes les deux voies – celle de Hironaka comme celle de Perelman – sont dÕune extraordinaire difficultŽ mathŽmatique. Elles ont dÕailleurs toutes les deux valu ˆ leur inventeur la MŽdaille Fields. Mais dans les deux orientations, la difficultŽ en jeu nÕest pas du mme ordre :

-   chez Hironaka, cÕest une extraordinaire difficultŽ de dŽmonstration [5] plut™t que de conception ou de formulation ;

-   chez Perelman, cÕest une extraordinaire difficultŽ ˆ la fois de conceptualisation et de dŽmonstration !

Je vais donc tre ici encore plus allusif [6].

 

LÕidŽe est quÕavouer le secret de la singularitŽ, cÕest faire Žclore la dynamique endogne dont la structure globale – le c™ne - est grosse et dont la singularitŽ – la pointe – constitue alors lÕemblme.

Cette dynamique, les mathŽmaticiens lÕappellent Į flot de Ricci Č.

Le principe va tenir ˆ lÕencha”nement de trois opŽrations que je vais me contenter de vous suggŽrer :

-   dÕabord, la courbure du c™ne va tre considŽrŽe comme une propriŽtŽ gŽomŽtrique intrinsque (et non plus extrinsque cÕest-ˆ-dire relative ˆ son plongement dans tel ou tel espace – je rappelle que la voie Hironaka Žclaire la structure gŽomŽtrique globale en la plongeant – opŽration exogne – dans un nouvel espace) ;

-   ensuite cette courbure intrinsque va tre entendue comme engageant une dynamique intrinsque de la structure c™ne – Į dynamique Č voudra ici dire que la structure peut sÕautoparamŽtrer par une de ces dimensions qui opre alors Į comme son temps Č (ce point sera lÕobjet de la leon mathŽmatique de juin prochain) ;

-   enfin, cette dynamique va tre formalisŽe comme existence dÕun flot, ce flot que les mathŽmaticiens appellent Į flot de Ricci Č (du nom dÕun quatrime mathŽmaticien).

Au total, cÕest la pointe qui avoue le secret du c™ne en laissant Žclore un flot global ˆ partir de cette pointe.

 

Tenons-nous en lˆ dans la prŽsentation mathŽmatique de cette seconde orientation et commentons-lˆ.

 

Premire caractŽristique : pour procŽder ˆ ce type dÕaveu, il faut sortir de la stricte algbre et introduire de la gŽomŽtrie diffŽrentielle – de lÕanalyse donc. On ne peut plus se contenter ici de la structure statique dÕensemble mais il faut examiner les dynamiques locales dÕengendrement – en quelque sorte, vous ne regardez plus votre c™ne comme un objet en bois mais comme une chose naturelle et vivante, en croissance endogne, en dŽveloppement expansif sui generis.

Deuxime caractŽristique : vous opŽrez un retournement complet de perspective puisque vous ne partez plus du c™ne comme objet lisse pour aboutir avec perplexitŽ ˆ sa pointe mais vous partez dŽsormais de la pointe et vous vous demandez comment cette pointe a pu tre le point de dŽpart dÕune gense, comment elle a pu engendrer le c™ne dans sa globalitŽ.

 

Dit autrement : vous nÕexaminez plus lÕarchitecture stable et globale du c™ne mais vous examinez la dynamique des parcours qui, ˆ partir de sa pointe et de proche en proche, tracent et retracent tout le c™ne.

On opre donc ici un double basculement dÕorientation :

-   on remplace la statique dÕun solide par la dynamique dÕun flux ;

-   on substitue une gense de proche en proche ˆ la donation en bloc dÕune structure dÕensemble.

 

Ce faisant, notre nouveau type dÕaveu a deux propriŽtŽs frappantes :

1.     lÕaveu retrace de manire immanente la dynamique du secret : lÕaveu nÕest plus un coup extŽrieur instantanŽ mais lÕouverture dÕune temporalitŽ que lÕaveu va partager avec le secret ;

2.     pour ce faire, lÕaveu part du secret comme foyer local dÕune lumire globale, et non plus comme trou noir, concentrant une obscuritŽ.

 

Ici  lÕaveu conjoint, dÕun bout ˆ lÕautre de son parcours, lÕintelligible et le sensible : il nÕa plus besoin de dŽtruire lÕapparence sensible du secret pour rendre intelligible son tre ; tout au contraire, il procde de son apparence sensible pour rendre progressivement sensible son intelligibilitŽ. Et pour cela, lÕaveu prend son temps : le temps de lÕaveu.

Appelons cela lÕaveu dynamisant, celui qui active le secret plut™t quÕil ne le supprime.

Deux voies

Suspendons notre leon sur ce partage que je rŽsumerai ainsi (voir le tableau ci-suit) :

-   la voie du marteau et du burin opre brutalement dÕun coup : lÕaveu foudroie, avec les dŽg‰ts qui dŽcoulent dÕune telle soudainetŽ ;

-   dans la voie de Į lÕapproche par la mer Č, lÕaveu est dynamique et ouvre une temporalitŽ quÕil va partager avec le secret : ici lÕaveu Žpouse le secret comme lÕeau Žpouse la noix quÕelle baigne, et cela prend du temps, un temps qui devient alors commun au secret et ˆ son aveu – vous reconna”trez peut-tre ici lÕopŽration ˆ laquelle je me suis livrŽ en tout dŽbut de sŽance pour tenter dÕavouer le secret qui me semblait ˆ lÕĪuvre dans les plans cinŽmatographiques de Florence PazzottuÉ

 

 

Hironaka

Perelman

approche par

Į marteau et burin Č : une frappe

Į approche de la mer Č : une immersion

lÕaveu

est arrachŽ

tombe de lui-mme [7]

rŽsolution par

Žclatement

(il sÕagit de faire avouer)

Žclosion

(il sÕagit que le secret sÕavoue)

lÕaveu

foudroie et dŽtruit

(statique globale)

Žpouse et active

(dynamique locale, de proche en proche)

 

La mathŽmatique, ainsi, nous Žduque : en matire de secret, il faut choisir entre lÕaveu qui tombe globalement de lÕextŽrieur et foudroie, et lÕaveu qui, ˆ partir dÕun point, va instaurer un temps partagŽ et Žpouser le secret. Ainsi le coup de foudre dÕun aveu massif tombant impromptu – Į je tÕaime ! Č - peut barrer la dynamique dՎpousailles !

Inattendue manire de recroiser, par la mathŽmatique, le vieux dilemme entre la Passion, possessive et ravageuse, et lÕAmour, offrande dՎternitŽ, ˆ poursuivre de proche en procheÉ

 

***



[1] la premire leon donnŽe en juin 2013

[2] Par exemple, le thŽorme de Pythagore formule un secret du triangle rectangle : une propriŽtŽ caractŽristique non Žvidente. Tout de mme un fameux thŽorme formule le secret de Ã2 qui est de nՐtre pas un nombre rationnel – on voit bien dans ce dernier cas que lÕaveu de ce secret (sa dŽmonstration) nÕa aucunement ŽpongŽ pendant plus de dix sicles lՎnigme de cette propriŽtŽÉ

[3] En vŽritŽ, le changement de coordonnŽes que nous allons prŽsenter (par simplification didactique) nÕest pas exactement lՎclatement de Hironaka, lequel prŽsuppose le plongement du c™ne dans un espace ˆ quatre dimensions et non pas, comme ici, dans un autre espace ˆ trois dimensions. On va ici se contenter  de transformer, dans le mme espace ˆ trois dimensions, une somme par un produit.

[4] Ces figures oprent une rotation : le plan est ici prŽsentŽ verticalement et le cylindre horizontalement.

[5] plusieurs centaines de pages, pour parcourir dŽmonstrativement tous les cas de figure possibles dÕun mme type de structureÉ

[6] Je mÕappuierai ici essentiellement sur des exposŽs didactiques du mathŽmaticien Yves AndrŽ, donc sur des connaissances mathŽmatiques de seconde main.

[7] On peut songer ici ˆ la dŽcision telle que Sartre la thŽmatise philosophiquement dans LՐtre et le nŽantÉ