Le thŽorme dĠHironaka (1964)

(Qui-vive, 27 juin 2013)

 

Nous inaugurons une nouvelle rubrique intitulŽe : ActualitŽ des mathŽmatiques.

Son enjeu ? ThŽmatiser les contenus de pensŽe de thŽormes contemporains en nous attachant ˆ les rendre les plus comprŽhensibles possibles. Les mathŽmatiques sont – doivent tre –directement accessibles ˆ lĠintelligence Žgale de chacun.

Si les intelligences sont par principe Žgales, cĠest bien parce que ce quĠun tre humain a rŽussi ˆ penser, nĠimporte quel autre tre humain est ensuite capable, sĠil le dŽsire et sĠil en fait lĠeffort, de le comprendre, cĠest-ˆ-dire de le faire sien.

Dans cette rubrique, nous nous attacherons – autant quĠil est possible en quinze minutes ! - ˆ comprendre un thŽorme de la mathŽmatique contemporaine.

Il va de soi quĠen ce temps rŽduit, nous ne pourrons entrer dans les dŽtails techniques ni dans la dynamique dŽmonstrative du thŽorme en question. Nous nous contenterons dĠintuitionner les enjeux de pensŽe ainsi gratuitement offerts par le mathŽmaticien concernŽ ˆ lĠhumanitŽ toute entire.

 

AujourdĠhui, nous nous tournerons vers Hironaka, mathŽmaticien japonais nŽ en 1931 dont le thŽorme le plus fameux date de 1964 – il lui valut la mŽdaille Fields, soit lĠŽquivalent en mathŽmatiques du Prix Nobel.

La dŽmonstration de ce thŽorme Žtait initialement lĠune des plus longues et difficiles de toute la mathŽmatique : plusieurs centaines de pages ! AujourdĠhui, cette dŽmonstration a ŽtŽ considŽrablement simplifiŽe, mais nous ne pŽntrerons pas ici dans son dŽdale.

Ce thŽorme concerne la rŽsolution des singularitŽs dans ce que lĠon appelle des variŽtŽs algŽbriques. QuĠest-ce ˆ dire ? Formulons-le en termes imagŽs.

 

Il sĠagit de savoir si les aspŽritŽs qui apparaissent localement, par exemple sur une courbe ou sur une surface lisses, sont accessoires ou essentielles : constituent-elles un simple accident (quĠon pourrait facilement nŽgliger ou effacer dĠun petit coup de rabot) ou leur position exceptionnelle signifie-t-elle quelque chose  de plus global, de plus essentiel ?

Prenons par exemple cette premire courbe :

Elle est lisse, partout lisse : je passe la main sur cette courbe : aucune aspŽritŽ ne vient arrter mon geste ou me piquer la paume.

Prenons maintenant cette seconde courbe :

Elle est Ç presque partout È lisse puisquĠelle est lisse partout si ce nĠest en un point S o la main qui la parcourt va ressentir une piqure.

La mathŽmatique dira : cette courbe est lisse sauf en un point qui constitue une singularitŽ par diffŽrence avec la rŽgularitŽ lisse de la courbe partout ailleurs.

 

Si lĠon raisonne cette fois sur des surfaces, on pourra avoir le mme type de phŽnomne : voici une surface partout lisse, et en voici deux autres qui ne le sont que Ç presque partout È puisquĠune pique dans la premire et un pli dans la seconde viennent constituer des aspŽritŽs Ç singulires È.

Manipulation dĠun mouchoir : boule / pointe / pli

La question mathŽmatique est alors : que viennent faire ces singularitŽs dans ces objets gŽomŽtriques ? Que nous disent-elles de ces courbes ou surfaces ? Les accidents quĠelles constituent sont-ils insignifiants et donc effaables sans dommage ou sont-ils au contraire essentiels et alors, en quel sens ?

 

Un exemple de singularitŽ accidentelle et traditionnellement traitŽ comme quantitŽ nŽgligeable est celui-ci :

Description : Macintosh HD:POLITIQUE:Séances Qui-vive:2. Juin 2013:Annoncer les maths:PIB.pdf

Il sĠagit dĠune courbe statistique reprŽsentant le PIB franais par trimestre. Un zig-zag sĠŽcarte notablement de la trajectoire, constituant ce que les statisticiens appellent des Ç points aberrants È : il sĠagit en effet du PIB autour du deuxime trimestre 1968 !

Les Žconomistes, qui raisonnent ŽconomŽtriquement ˆ partir de cette courbe, vont supprimer cet Žcart (faire comme sĠil nĠexistait pas) et lisser la courbe. Ils vont dire : Ç cette singularitŽ est exogne puisquĠelle est dĠorigine politique (mai 68) et non pas Žconomique ; Žconomiquement, on va la comprendre comme une interfŽrence non nŽcessaire de la politique dans lĠŽconomie. Tirons donc un trait au travers de cet Žcart et raisonnons Žconomiquement sur la courbe comme sĠil nĠy avait pas eu cet accident ! È

 

On peut ainsi considŽrer quĠune singularitŽ est une aberration locale et la supprimer : en donnant un coup de lime sur la pointe du c™ne, en lissant dĠun coup de fer ˆ repasser le pli sur notre prŽcŽdente surface, etc. LĠorientation de pensŽe consiste alors ˆ raisonner sur la globalitŽ presque partout lisse en faisant comme si elle Žtait, en vŽritŽ, partout lisse.

LĠargument revient ˆ dire : Ç Un seul point, soit ˆ peu prs rien au regard de lĠensemble, ne va pas menacer notre belle rŽgularitŽ globale ! Ce phŽnomne extrmement local nĠa nulle raison dĠtre ; il pourrait aussi bien ne pas tre. Faisons donc comme sĠil nĠexistait pas ! È

 

Ë rebours de cette paresse de pensŽe, Hironaka propose de comprendre ces singularitŽs comme des nŽcessitŽs endognes, susceptibles de dire le vrai – un vrai inaperu - sur les courbes ou les surfaces concernŽes  de lĠintŽrieur dĠelles-mmes, en immanence.

LĠorientation de pensŽe est ici inverse. Elle consiste ˆ dire : Ç ce phŽnomne dĠaspŽritŽ rarissime doit tre sŽrieusement pris en compte, comme sympt™me, cĠest-ˆ-dire comme apparition locale dĠune nŽcessitŽ globale inapparente. Il faut nous rapporter ˆ cette exception comme constituant une chance, non un handicap : la chance de mieux comprendre ce qui organise rŽellement cet objet gŽomŽtrique, la chance dĠaccŽder ˆ son tre mme par-delˆ son apparence presque toujours lisse. Il nous faut pour cela accŽder ˆ la constitution interne de cet objet pour comprendre ˆ quelle nŽcessitŽ inŽvidente cette apparition purement locale rŽpond. È

 

Cette logique de lĠexception est fort importante, dans tous les domaines de la pensŽe.

Par exemple, il a ŽtŽ dit tout ˆ lĠheure : Ç il nĠy a que ce quĠil y a, si ce nĠest – entre autres - ce que nous prŽsentons ce soir ! È. CĠest bien indiquer que ces soirŽes Qui-vive ne sĠaccordent gure ˆ la rŽgularitŽ du monde contemporain. Certes leur singularitŽ accidentelle peut tre considŽrŽe comme quasi-insignifiante : il est vrai que les questions qui nous occupent ce soir sont considŽrŽes dans notre pays et dans ce monde comme quantitŽs nŽgligeables. Mais nous avons cependant lĠorgueil de penser que notre exception dit quelque chose dĠessentiel, non dĠaccessoire. Nous avons lĠambition de penser que nos soirŽes ne relvent pas dĠune marge, aisŽment nŽgligeables mais indiquent, sans doute confusŽment encore, quelque chose de profondŽment nŽcessaire qui laboure ce temps en sa globalitŽ, en son cÏur plut™t quĠen ses bords.

 

LĠenjeu gŽnŽral de notre question peut tre rŽsumŽ ainsi : si toute singularitŽ se prŽsente phŽnomŽnalement comme accident unique et non rŽpŽtŽ, cette singularitŽ nĠest-elle quĠune exception qui, comme lĠon dit, ne ferait que confirmer la rgle (ici la rŽgularitŽ dĠun cours lisse du monde), ou nĠest-elle pas plut™t un accs privilŽgiŽ ˆ ce qui constitue la loi universelle et inapparente du phŽnomne global considŽrŽ ?

 

Voyons sur un exemple mathŽmatique prŽcis comment le thŽorme dĠHironaka Žclaire ce point.

Comparons pour ce faire un cylindre et un c™ne.

Le cylindre est partout lisse. Le c™ne ne lĠest que presque partout puisque sa pointe est lĠunique endroit susceptible de piquer une main.

On peut avoir envie de gommer cette pique, de Ç lisser È le c™ne en donnant un petit coup de rabot sur cette pointe pour la recourber lŽgrement. La question est alors : ˆ limer cette pointe, ne procde-t-on quĠˆ un amŽnagement local ou modifie-t-on, sans sĠen rendre compte, la logique dĠensemble du c™ne ?

On va voir que si on saisit le c™ne comme une surface globalement configurŽe selon une loi immanente unique, on ne peut effacer sa pointe quĠen modifiant toute sa structure.

 

MathŽmatiquement, cette loi globale du c™ne se donne sous la forme dĠune Žquation [i] :

x2+y2=z2

LĠŽquation de notre c™ne indique que notre surface est faite de cercles au rayon croissant comme z.

 

LĠintŽrt de lĠŽquation est de prŽsenter de manire ramassŽe, simple, littŽrale, la loi de composition du c™ne. Vous voyez quĠune seule Žcriture reprŽsente aussi bien la lissitŽ rŽgulire que la pique singulire en sorte que la singularitŽ devient ainsi engendrŽe par la valeur zŽro donnŽe au paramtre z. Plus de mystre donc, si ce nĠest de comprendre pourquoi en zŽro la surface perd sa lissitŽ. Et cĠest ici quĠintervient Hironaka !

Dans notre exemple, lĠidŽe est trs simple (mais elle devient dĠune extraordinaire complexitŽ quand il sĠagit de la gŽnŽraliser ˆ lĠensemble des variŽtŽs algŽbriques) : il sĠagit de comprendre notre c™ne comme Žtant gŽnŽrŽ par lĠeffet dĠune contradiction globale.

Faisons ressentir cette contradiction.

 

QuĠest-ce quĠun c™ne si ce nĠest un cylindre dont on a progressivement rŽtrŽci le diamtre jusquĠˆ lĠŽcraser en un point ! Ainsi, si je veux transformer un cylindre de papier en un c™ne, je rŽduirai progressivement son diamtre jusquĠˆ le rŽduire – ˆ lĠŽcraser - autant que possible en un simple point.

QuĠest-ce alors quĠun c™ne ? CĠest le produit dĠune contradiction entre deux orientations opposŽes (ou Ç transverses È disent les mathŽmaticiens) : un cylindre et un plan perpendiculaires (Ç orthogonaux È disent les mathŽmaticiens).

Ceci appara”t si lĠon modifie lĠŽquation du c™ne au moyen du changement de coordonnŽes suivant (un changement de coordonnŽes, cĠest une autre manire de dŽcrire le c™ne en le plongeant dans un autre type dĠespace, ici structurŽ par u, v et w) :

á      x=uw

á      y=vw

á      z=w

Ceci transforme notre Žquation de dŽpart de la manire suivante :

x2+y2-z2=0 u2w2+v2w2-w2=0 w2(u2+v2-1)=0

La nouvelle Žquation du c™ne se prŽsente ainsi comme lĠannulation dĠun produit de deux termes. Et comme on le sait, pour que AxB=0 il faut soit que A=0, soit que B=0 (ou bien sžr que les deux le soient ˆ la fois puisquĠon sait que 0 multipliŽ par 0 Žgale 0 cĠest-ˆ-dire la tte ˆ Toto !).

Ici la nouvelle Žquation a donc pour solution deux nouvelles surfaces dont les Žquations respectives sont w2=0 et u2+v2-1=0 ; soit :

1.     un plan horizontal dĠŽquation  w=0

Description : Macintosh HD:Maths:Grapher (.gcx):plan.jpg

2.     et un cylindre vertical de rayon 1 dont lĠŽquation est u2+v2=1

Description : Macintosh HD:Maths:Grapher (.gcx):cylindre.jpg

Cette nouvelle Žquation nous dit donc que notre c™ne peut tre compris comme le produit dĠun cylindre et dĠun plan perpendiculaire ˆ lĠaxe du cylindre. Comme lĠon sait, quand un plan coupe perpendiculairement un cylindre, cela dŽcoupe un cercle. On retrouve ainsi lĠidŽe quĠun c™ne, cĠest le recollement – la somme - de cercles de rayons croissants.

LĠidŽe est alors que la singularitŽ de la pique procde de lĠŽcrasement, en un seul point, du cercle que le cylindre dŽcoupe sur le plan.

LĠexistence dĠune pique et dĠune seule dans ce c™ne appara”t ainsi comme liŽe ˆ lĠexistence dĠun zŽro et dĠun seul [ii]. Ainsi lĠexistence de la pique nĠappara”t nullement comme un accessoire accidentel mais bien comme lĠeffet local (en zŽro) de la loi globale qui constitue le c™ne comme c™ne ; si bien que sans pointe, plus de c™ne !

La pointe attire ainsi notre attention sur le fait que le c™ne est lĠeffet de deux forces contradictoires : une force latŽrale de prolongation, et une force perpendiculaire dĠŽcrasement. Le c™ne est la forme mme de cette contradiction et cĠest bien la pointe, en son ŽtrangetŽ phŽnomŽnale, qui nous en dŽlivre la loi globale.

A contrario, on voit quĠˆ raboter cette pointe, on nĠaurait plus affaire ˆ un c™ne mais ˆ un c™ne tronquŽ auquel on aurait collŽ un petit bout de sphre.

Description : Macintosh HD:Maths:Grapher (.gcx):Cylindre/Sphère.jpg

On obtiendrait ainsi une surface hybride qui ne pourrait plus tre dŽcrite par une seule Žquation mais qui nŽcessiterait deux Žquations diffŽrentes : lĠune pour le c™ne tronquŽ et lĠautre pour le bout de sphre.

 

RŽsumons la part qui nous intŽresse ici du thŽorme dĠHironaka : toute singularitŽ dĠune courbe ou dĠune surface de ce type [iii] peut tre comprise comme lĠeffet local dĠune contradiction globale entre des composantes transverses qui, tel le squelette dĠun corps, ossaturent la surface en question.

Ainsi, une singularitŽ (unique exception locale dĠune rŽgularitŽ quasi-globale) manifeste la contradiction dĠensemble ˆ lĠorigine du phŽnomne considŽrŽ.

 

Ce faisant, la singularitŽ devient comprise comme la voix royale dĠaccs ˆ lĠuniversel.

Contre ceux qui soutiennent quĠune chose singulire, Žtant quantitativement insignifiante, ne reprŽsente rien, il faut soutenir quĠun tel point infime, quĠun tel grain de sable, quĠune telle goutte dĠeau dans la mer, quĠun tel Ç presque rien È nĠest pas rien, en est mme tout le contraire ! On doit en effet soutenir, selon un renversement saisissant, que ce presque rien porte la vŽritŽ globale du phŽnomne lˆ o la rŽgularitŽ massivement apparente reste trompeuse.

 

O lĠon retrouve la logique psychanalytique du sympt™me : si le sympt™me est ce qui vient interrompre la rŽgularitŽ, doit-on le nŽgliger en raison de sa raretŽ phŽnomŽnale ? Freud nous a enseignŽ, a contrario, que son opacitŽ immŽdiate est prŽcisŽment le signe de son importance, et quĠil faut dŽchiffrer lĠapparence Žnigmatique du sympt™me pour accŽder ˆ la loi sous-jacente de la chose concernŽe.

 

On conclura en disant que la mathŽmatique nous aide ˆ comprendre que la singularitŽ est le secret de lĠuniversel : lĠuniversel se donne dans une singularitŽ qui en est ˆ la fois le secret (cĠest sa dimension mystŽrieuse) et lĠaveu (cĠest lĠintelligence de lĠuniversel ˆ laquelle elle ouvre).

Lacan rappelle quĠun secret avouŽ reste toujours un secret car un secret nĠest pas une chose cachŽe, extŽrieurement dissimulŽe mais un repli endogne de la chose sous lĠeffet des forces contradictoires qui constitue sa spŽcificitŽ (si bien que prŽsenter ce repli, ce ne sera pas lĠeffacer mais seulement le dŽplier provisoirement).

De mme, comprendre une singularitŽ nĠest pas la supprimer : toute singularitŽ – celles de la mathŽmatique, mais aussi la singularitŽ-Schoenberg, la singularitŽ de Mai 68 ou la singularitŽ de nos soirŽes Qui-viveÉ - fait Žmerger une contradiction sourdement ˆ lĠÏuvre en lui donnant une apparence surprenante qui indique plut™t quĠelle nĠexplique.

On en retiendra quĠune singularitŽ nous dŽclare : Ç Ici Žmerge, par Žcrasement en un point infime, lĠexistence secrte dĠune contradiction dĠensemble. Ë vous dĠen percer le secret ! È

 

***



[i] Žquation algŽbrique et non pas, par exemple, diffŽrentielle : cĠest pour cela que Hironaka parle de Ç variŽtŽs algŽbriques È, o Ç variŽtŽ È dŽsigne des courbes, des surfaces ou dĠautres objets de dimensions supŽrieures.

[ii] ce quĠon appelle lĠunique ŽlŽment neutre pour lĠaddition dans les nombres rŽels

[iii] algŽbrique, cĠest-ˆ-dire saisissable globalement par une Žquation algŽbrique