La notion dĠopposition ŽclairŽe par la logique des contradictoires, contraires et subcontraires

(PublicitŽ mathŽmatique – sŽance Qui-vive du 19 juin 2015)

 

 

Cette leon portera sur la logique plut™t que sur la mathŽmatique proprement dite.

Logique & mathŽmatiques

Deux mots pour situer aujourdĠhui les rapports entre logique et mathŽmatiques.

Les annŽes 60 du XXĦ sicle ont spectaculairement renversŽ ces rapports.

Jusque-lˆ, la logique Žtait classiquement conue comme fondement des mathŽmatiques, comme soubassement de cette procŽdure dŽmonstrative qui, depuis les Grecs, constitue le propre des mathŽmatiques.

Les annŽes 1960 ont remis cette dialectique logique-mathŽmatiques sur ses pieds en dŽgageant comment la logique repose en fait sur les mathŽmatiques et non lĠinverse.

Cette remise sur pieds va de pair avec une pluralisation de la logique : il y a clairement des logiques et non plus la seule logique classique, un peu comme il y a, depuis le XIXĦ sicle, des espaces gŽomŽtriques et non plus le seul espace euclidien.

Des logiques plurielles, conditionnŽes par le dŽveloppement de la pensŽe mathŽmatique, en particulier en sa composante gŽomŽtrique, tel est le vaste tournant gŽomŽtrique de la pensŽe intervenu dans les annŽes 60, tournant qui vient raturer le tournant linguistique de la pensŽe que les Anglo-Saxons aiment faire valoir depuis les annŽes 20.

Trois noms propres Žpinglent ce tournant gŽomŽtrique venant libŽrer la logique de sa supposŽe fonction fondatrice pour la mettre ˆ lĠŽcole de la gŽomŽtrie contemporaine :

-   Alexandre Grothendieck, le mathŽmaticien, refondateur de la gŽomŽtrie ;

-   Yves GŽrard, le logicien, refondateur dĠune logique mathŽmatique ˆ lĠŽcole de cette nouvelle gŽomŽtrie ;

-   Alain Badiou, le philosophe, fondateur dĠune logique philosophique conditionnŽe par cette ontologie mathŽmatique gŽomŽtriquement rŽorganisŽe.

Trois manires dĠopposer

Nous allons ce soir examiner la notion dĠopposition pour lĠŽclairer selon cette logique que lĠon dira mathŽmatique non seulement parce quĠelle se formalise mathŽmatiquement mais surtout parce quĠelle se met ˆ lĠŽcole de la mathŽmatique : forme et contenu de cette logique sont donc mathŽmatiquement configurŽs.

 

LĠidŽe gŽnŽrale va tre de montrer quĠopposition se dit logiquement de trois manires enchevtrŽes : il y a lĠopposition des contradictoires (ou contradiction), lĠopposition des contraires (ou contrariŽtŽ) et lĠopposition des subcontraires (ou subcontrariŽtŽ).

Ces trois types dĠopposition – contradiction, contrariŽtŽ et subcontrariŽtŽ - sĠarticulent en une dialectique unifiŽe quĠon va formaliser en un hexagone quĠon appelle lĠhexagone logique des oppositions.

 

PrŽsentons la structure de cet hexagone ˆ partir dĠun exemple arithmŽtique trs simple.

Un exemple arithmŽtique

Comparons deux nombres (au sens usuel du terme : nombres entiers, rationnels, ou rŽels).

Nous savons que nous pouvons les ordonner sur une mme droite en sorte quĠopposer deux nombres revient ˆ comparer leur grandeur.

Soit a et b ces deux nombres.

Nous avons trois cas de figures et trois seulement :

a < b

a = b

a > b

Trois contraires

Figurons ces trois rapports possibles entre nos deux nombres par un triangle bleu :

On dŽgage ainsi trois rapports contraires (ou trois contrariŽtŽs) : deux par deux incompatibles (on ne peut avoir ˆ la fois a<b & a=b, ou a<b & ab, etc.) mais qui peuvent tre faux deux par deux : par exemple a<b & a>b peuvent tre simultanŽment faux si a=b.

Trois subcontraires

Nos trois contrariŽtŽs engendrent trois nouveaux rapports dĠoppositions :

-   a²b qui Ç somme È les deux oppositions a<b ou a=b  (le Ç ou È est ici exclusif : si cĠest lĠun, ce nĠest pas lĠautre) ;

-   a³b qui Ç somme È les deux oppositions a=b ou a>b ;

-   a­b qui Ç somme È les deux oppositions a<b ou a>b.

Figurons ces trois nouveaux rapports par un second triangle (vert)

Les oppositions entre les sommets de ce nouveau triangle ne sont plus des contrariŽtŽs car nos trois nouveaux rapports sont dŽsormais deux par deux compatibles :

on peut avoir en mme temps a ² b & a ­ b : si a < b ; et ainsi de suiteÉ

Par contre ces nouveaux opposŽs ne peuvent tre deux par deux simultanŽment faux :

par exemple il nĠest pas possible que ni a ² b ni a ³ b : cĠest forcŽment lĠun ou lĠautre (a²b ou a³b) - le Ç ou È est ici non-exclusif puisque les deux peuvent tre vrais en mme temps (si a=b).

Ce type nouveau dĠopposition constitue une subcontrariŽtŽ et les sommets en question seront dits subcontraires.

Six infŽrences

Si lĠon croise nos deux triangles, on obtient lĠimage dĠune croix de David :

quĠon peut complŽter par diffŽrentes flches (ici en noir) quĠon dira de subalternitŽ en sorte dĠobtenir la figure dĠun hexagone :

Les flches en noir formalisent des infŽrences : par exemple, la flche qui va de < ˆ ² ou ˆ ­ indique que si a<b, alors a²b et a­b.

 

Cet hexagone dispose donc trois contraires (dans des carrŽs) reliŽs en bleu par des relations de contrariŽtŽ, trois subcontraires (dans des ovales) reliŽs en vert par des relations de subcontrariŽtŽ.

Trois contradictoires

ComplŽtons notre hexagone par un dernier type dĠopposition : celle qui rapporte en rouge deux sommes diagonaux (par exemple = et ­) :

Ce dernier type de relation (en rouge) est dite relation de contradiction et les sommets ainsi opposŽs seront dits contradictoires car ils sont incompatibles deux ˆ deux (comme les contraires bleus) et ils ne peuvent tre simultanŽment faux (il nĠy a plus de tierce possibilitŽ comme dans le cas des contraires : lĠun des deux est forcŽment vrai et lĠautre est faux). La contradiction organise donc une stricte alternative : cĠest lĠun ou lĠautre.

Au totalÉ

Au total, on a distinguŽ trois types dĠopposition :

1.     une notion maximale dĠopposition (inscrite en rouge) : celle de contradiction ;

2.     une notion forte dĠopposition (inscrite en bleu) : celle de contrariŽtŽ ;

3.     une notion faible dĠopposition (inscrite en vert) : celle de subcontrariŽtŽ.

 

1.     Dans la contradiction, les deux termes ne peuvent tre simultanŽment vrais ni simultanŽment faux. CĠest lĠalternative stricte, sans troisime possibilitŽ. On dit que cette opposition est classique - elle renvoie ˆ la logique dite de Boole (XIXĦ sicle).

2.     Dans la contrariŽtŽ, les deux termes ne peuvent tre simultanŽment vrais mais ils peuvent tre simultanŽment faux (il existe une position tierce). On dit que cette opposition est intuitionniste - elle renvoie ˆ la logique dite de Heyting (milieu du XXĦ).

3.     Dans la subcontrariŽtŽ, les deux termes peuvent tre simultanŽment vrais mais ils ne peuvent tre simultanŽment faux. On dit que cette opposition est paraconsistante - elle renvoie ˆ la logique de Da Costa (fin du XXĦ).

 

En rŽsumŽÉ

RŽsumons tout ceci dĠune nouvelle figure :

PropriŽtŽs logico-mathŽmatiques

Cette figure formalise des propriŽtŽs logico-mathŽmatiques importantes et variŽes [1] quĠon nĠa gure ici le temps de dŽvelopper mais quĠon peut cependant suggŽrer de deux manires :

1.     Les contraires (bleu) et les subcontraires (vert) renvoient ˆ ce que la thŽorie des catŽgories appellent des produits et des sommes si bien que les contradictoires opposent systŽmatiquement un produit et une somme.

2.     On peut mathŽmatiquement dŽmontrer [2] que la Ç somme È des trois contraires configurent un Ç borromŽen È :

     

Cette idŽe est capitale : elle permet dĠinterprŽter lĠhexagone de manire dynamique, dans ses rapports constituants plut™t que selon ses sommets constituŽsÉ

 

*

 

Examinons maintenant lĠintŽrt de cette formalisation hexagonale dans diffŽrents contextes de pensŽe.

InterprŽtations

LĠidŽe gŽnŽrale est la suivante : face ˆ une opposition, empiriquement donnŽe, demandons-nous de quel type exact dĠopposition (parmi les trois distinguŽes) celle-ci relve puis demandons-nous comment lĠopposition de dŽpart peut tre dialectisŽe avec quatre autres termes venant parfaire le jeu complet des oppositions mises implicitement en Ïuvre par lĠopposition de dŽpart.

On va avoir quatre cas de figure (quĠon va illustrer par des exemples trs simples) selon quĠon partira dĠun rapport de contradiction stricte, de simple contrariŽtŽ, de subcontrariŽtŽ ou de subalternitŽ.

1. Contraires

Supposons quĠon parte de lĠopposition entre tous et aucun (par exemple face ˆ deux affirmations Žvidemment opposŽes comme : Ç tous les hommes aiment la justice È et Ç aucun homme nĠaime vraiment la justice È).

De quel type dĠopposition sĠagit-il ?

Clairement dĠune opposition de contraires (les deux sont incompatibles) mais pas forcŽment de contradictoires (car il peut y avoir une position tierce entre tous et aucun qui est celle du quelques-uns : Ç certains hommes aiment la justice quand dĠautres ne lĠaiment pas È).

On va ainsi construire progressivement un hexagone formalisant le champ possible des notions ici mises en rapport :

dĠabord

puis

et enfin lĠespace hexagonal complet de pensŽe :

On aura ainsi structurŽ le champ de pensŽe o sĠorienter et se prononcer. Remarquons bien que cet espace de pensŽe est structurŽ moins par 6 sommets que par 15 rapports (3 rouges, 3 bleus, 3 verts et 6 noirs) : ce qui importe ici, ce sont les rapports dĠopposition – mieux : les rapports entre rapports –, les tensions constituantes plut™t que les termes constituŽs, isolŽment conus.

2. Contradictoires

Partons cette fois de lĠopposition entre impossible et possible, opposition manifeste de deux contradictoires puisquĠil sĠagit dĠune alternative stricte.

Formalisons cela ainsi :

Un choix implicite prŽside ˆ cette formalisation : lequel des deux termes va tre ici considŽrŽ comme Ç primitif È et lequel comme Ç secondaire È ? Lequel va, dĠune certaine faon Ç commander È ˆ lĠautre ? La formalisation retenue ici pose en prioritŽ lĠimpossible (cĠest pour cela que lĠimpossible est formalisŽ dans un rectangle, comme un Ç produit È et non pas comme une Ç somme È) en sorte que le possible devient conu comme ce qui nĠest pas impossible. Je ne mĠŽtends pas ici sur ce pointÉ

LĠhexagone des opposŽs engendrŽ par cette contradiction de dŽpart va tre alors le suivant :

3. Subcontraires

Supposons maintenant que nous rŽflŽchissions sur lĠopposition entre diffŽrence et similaritŽ (opposition au principe dĠailleurs de cette rŽflexion logique, sorte de mŽta-opposition).

De quelle nature est cette opposition et comment lĠinscrire dans la dialectique (borromŽenne) gŽnŽrale des trois types dĠopposition ?

1.     LĠidŽe sera dĠabord de catŽgoriser cette opposition comme une subcontrariŽtŽ puisquĠil nĠy a pas dĠincompatibilitŽ formelle ˆ ce quĠune paire dĠobjets soient ˆ la fois diffŽrents et similaires : tel est bien le cas pour des objets analogues. On inscrira donc au dŽpart de notre construction logique le triangle suivant :

2.     On compltera ensuite, de proche en proche, le schŽma notionnel en sorte dĠaboutir finalement ˆ lĠhexagone suivant :

4. Subalternes

On pourrait enfin partir dĠun couple de notions, manifestement diffŽrentes mais plus difficilement inscriptible dans lĠune de nos trois oppositions.

Supposons ainsi que nous rŽflŽchissions ˆ la diffŽrence de notions entre ce qui est obligatoire et ce qui est autorisŽ.

Nous partirons ici non plus dĠune opposition stricte comme dans nos trois exemples prŽcŽdents mais plut™t dĠune subalternitŽ puisque Ç obligatoire È implique Žvidemment Ç autorisŽ È :

LĠengendrement de lĠespace notionnel complet conduira alors ˆ lĠhexagone suivant, formellement analogue ˆ celui gŽnŽrŽ par les contraires impossible & possible (il en constitue la version lŽgaliste) :

Les diffŽrents types dĠoppositions politiques

Achevons cette prŽsentation en illustrant comment cette formalisation peut Žclairer les diffŽrents types dĠoppositions quĠon rencontre en politique.

 

En politique, il est dĠusage de distinguer les contradictions antagoniques des contradictions non antagoniques (celles quĠon appelle les contradictions au sein du peuple).

Contradictions antagoniques

LĠantagonisme politique, cĠest bien sžr lĠincompatibilitŽ – cĠest ce que nous avons formalisŽ comme non-coexistence, quĠelle soit celle des contradictoires (en rouge) ou celle des contraires (en bleu).

De mme, en politique, lĠantagonisme peut prendre deux formes :

1.     la forme dĠune opposition binaire entre deux termes : on dira que la politique opre ici une simplification rationnelle en convoquant ˆ une simple alternative (celle du Ç De deux choses lĠune ! È quĠon appelle Ç lutte entre deux voies È : par exemple prolŽtariat ou bourgeoisie, capitalisme ou communismeÉ) ;

2.     la forme dĠune Ç lutte sur deux fronts È o lĠincompatibilitŽ se dŽploie en partie double : soit sous la forme de deux ennemis dŽclarŽs (exemplairement celles des Japonais et de Tchang Ka•-chek de 1937 ˆ 1945 pour la rŽvolution chinoise), soit sous la forme de deux adversaires implicites (par exemple dans la lutte simultanŽe contre une dŽviation de droite et une dŽviation gauchiste) - dans tous ces cas, la lutte se joue ˆ trois en sorte que lĠennemi de mon ennemi nĠest plus automatiquement mon ami.

On voit que la premire forme correspond ˆ notre contradiction logique [3] opposant deux contradictoires et la seconde ˆ notre contrariŽtŽ logique opposant trois contraires.

Contradictions non antagoniques

Le non-antagonisme des contradictions au sein du peuple renvoie pour sa part ˆ la subcontrariŽtŽ logique puisque les oppositions concernŽes sont traitŽes ici comme compatibles donc conciliables ; soit la conviction politique que, dans une dissension au sein du peuple, il y a toujours une base commune susceptible de produire une entente – cĠest le sens du mot dĠordre : Ç rien dĠessentiel ne divise le peuple ! È, et notre formalisation hexagonale distingue dĠailleurs bien ce quĠil y a de commun entre deux subcontraires : ce sont prŽcisŽment les sommets contraires (ceux que lĠon peut assimiler, en thŽorie des catŽgories, ˆ des Ç produits È).

 

Ainsi, contradictions antagoniques (binaires ou relevant dĠune lutte sur deux fronts) et contradictions au sein du peuple sĠinscrivent dans la dialectique logique des opposŽs comme contradiction, contrariŽtŽ et subcontrariŽtŽ.

On peut alors construire une sorte de mŽta-hexagone logique des oppositions o nos trois modalitŽs sont ainsi figurŽes en trois contraires :

Ce qui met en Žvidence une dialectique sous-jacente aux contradictions politiques entre compromis,  antagonisme et binaritŽ.

 

Cette formalisation doit tre saisie non pas statiquement (par ces sommets) mais dynamiquement (par ses rapports constituants) ce qui correspond ˆ son apprŽhension comme nouage borromŽen.

Par exemple, on peut ainsi montrer pourquoi mettre au poste de commandement les contradictions au sein du peuple (et non pas lĠantagonisme) permet dĠarticuler, selon les circonstances, Ç lutte entre les deux voies È (antagonisme contre lĠennemi principal) et Ç lutte sur deux fronts È (voir son Žventuel Ç front uni È avec lĠadversaire secondaire) : cĠest ˆ partir du travail politique au sein des masses que sĠŽclaire la dialectique des partisans et des adversaires ; cĠest ˆ partir de la constitution dĠun camp du peuple que sĠŽclaire la dialectique des amis et des ennemis ; cĠest ˆ partir dĠune clarification des positions au sein du peuple que sĠŽclaire la dialectique des alliances et des combats.

 

***



[1] Sur tout ceci, voir les travaux du logicien Jean-Yves Beziau

[2] Voir le travail du mathŽmaticien RenŽ Guitart

[3] Il faut bien faire ici attention au fait que le mme mot contradiction opre ici dans deux contextes sŽparŽs avec deux sens lŽgrement diffŽrents : un contexte logique et un contexte politiqueÉ