La notion de formalisation ŽclairŽe par la thŽorie logique des modles

(PublicitŽ mathŽmatique – sŽance Qui-vive de mai 2016)

 

Je voudrais soutenir cette hypothse gŽnŽrale : notre Žpoque a particulirement besoin de symbolisation, donc de formalisation.

Pourquoi notre Žpoque en a-t-elle particulirement besoin ? Car la doxa contemporaine veut nous condamner ˆ osciller sans fin entre utopie et rŽalisme, entre imagination du rve et soumission aux dures rŽalitŽs, entre fantasmagorie nocturne dÕun bien possible et retour diurne ˆ la logique rŽsignŽe dÕun moindre mal.

Sortir de ce pseudo-dilemme, de cette fausse alternative, implique – Lacan sÕen est longuement expliquŽ – la convocation dÕun troisime terme : celui de lÕordre symbolique, seul susceptible de nouer [1] imaginaire et rŽel. Ainsi, pour quÕune possibilitŽ imaginaire puisse sÕinscrire dans le rŽel, il faut la symboliser : plus exactement, il faut symboliser son possible rapport ˆ une situation rŽelle.

On ne peut donc concevoir de rapport direct entre lÕidŽe dÕun possible et sa mise ˆ lՎpreuve dÕun rŽel : pour les rapporter lÕune ˆ lÕautre, il faut nŽcessairement en passer par une Žtape symbolique.

Symbolisation

QuÕentendre ici par symbolisation et ordre symbolique ?

CÕest en ce point que la mathŽmatique va nous Žclairer.

 

La mathŽmatique sÕattache en effet ˆ symboliser les choses dont elle sÕoccupe au moyen de son Žcriture propre. Elle nomme cela formalisation : la mathŽmatique formalise les situations quÕelle prend pour modles en construisant des thŽories littŽrales – opŽrant ˆ la lettre – qui permettent dÕexplorer rationnellement les ressources inapparentes de ces situations. Ainsi, toute une branche de la logique mathŽmatique contemporaine explore cette formalisation sous le nom de Į thŽorie des modles Č et cÕest sa lumire que nous allons ce soir convoquer.

 

Si formaliser mathŽmatiquement, cÕest donc mettre en forme thŽorique, il sÕagit de comprendre comment la mise en forme dÕune situation de dŽpart peut y caractŽriser des possibles inaperus et comment une telle formalisation peut guider lÕexpŽrimentation, en situation, de ces possibles – on retrouve ainsi notre problme de dŽpart : comment Į rŽaliser Č lÕidŽe dÕune possibilitŽ ?

 

Symboliser – Lacan nous le rappelle -, cÕest reprŽsenter quelque chose pour un autre symbole. CÕest donc un mouvement de ce type :

Symboliser, ce nÕest pas Žtiqueter.

 

CÕest instituer un ordre propre, un ordre quÕon appelle prŽcisŽment symbolique.

La formalisation mathŽmatique va systŽmatiser ce geste de symbolisation.

Introduisons ˆ cette logique par un premier exemple

Physique

Prenons pour modle de dŽpart une situation relevant de la physique des corps : nous disposons dÕun corps solide dont nous pouvons estimer le poids. Montons-le au sommet de la tour de Pise, dont nous pouvons estimer la hauteur. L‰chons-le dÕen haut et estimons le temps quÕil met pour tomber.

Comment comprendre cette expŽrience ? Comment rationnaliser les rapports entre poids de lÕobjet, hauteur de la tour et durŽe de la chute ?

Pour cela, formalisons ces diffŽrentes composantes du phŽnomne expŽrimentŽ en les symbolisant par des lettres susceptibles ensuite dՐtre mises en Žquation : formalisons le poids par P, la hauteur par H, la durŽe de chute par D.

Nous avons ainsi constituer un espace symbolique ˆ trois termes : P, H et D.

Ë ce premier stade, nos lettres restent des Žtiquettes.

Mais demandons-nous maintenant : comment relier rationnellement ces termes ? Y a-t-il une Žquation D = Ä(P,H) qui formaliserait ce que P et H peuvent tre pour D, qui symboliserait donc ce que les symboles P et H des choses Į poids Č et Į hauteur Č peuvent tre pour le symbole D de la chose Į durŽe Č ?

 

Pour cela, la physique de Newton nous apprend quÕil faut concevoir le poids P comme une force gravitationnelle sÕexerant sur un corps de masse donnŽe, et donc scinder thŽoriquement le poids P du corps considŽrŽ selon deux composantes : sa masse M et la constante gravitationnelle g qui sÕexerce sur lui en sorte que la force rŽsultante P puisse sՎcrire (se formaliser donc) ainsi : P=M.g

Remarquons ici le saut qualitatif (en ce type de circonstance, Bachelard parle de Į coupure Į ŽpistŽmologique Č) : P est directement expŽrimentable (par une balance qui compare les poids) ; M et g ne le sont pas aussi directement (difficile, sur Terre, de comparer diffŽrentes constantes gravitationnelles : ce nÕest pas impossible mais il faut, pour cela, construire des protocoles expŽrimentaux beaucoup plus complexe, donc de nouveaux instruments qui seront lÕeffet de notre nouvelle thŽorie et pas non leur origine).

La scission de P en Mg est donc thŽorique, elle est une opŽration symbolique propre ˆ notre mise en forme thŽorique qui ne dŽcoule plus dÕun Žtiquetage : lÕordre symbolique instituŽ par cette thŽorie dŽploie sa logique relativement autonome.

 

Il faut ensuite passer de cette force M.g ˆ ses effets dans le temps sur lÕobjet l‰chŽ de la hauteur H.

Passons les dŽtails et dŽtours de la formalisation thŽorique.

Le rŽsultat de cette thŽorie – rŽsultat formel, mathŽmatiquement dŽduit - est que la hauteur h de la chute de notre objet ainsi abandonnŽ ˆ la gravitation Žvolue dans le temps selon lՎquation h(t)=H-gt2/2.

Remarquons que dans cette Žquation, le poids P et la masse M de notre objet ont disparu : notre thŽorie nous dit ainsi pourquoi deux corps de poids diffŽrents (et donc, sur la mme Terre, de masses diffŽrentes) mettent le mme temps pour tomber dÕune mme hauteur. Notre thŽorie formalise donc une chute indŽpendante des caractŽristiques propres de lÕobjet considŽrŽ (cÕest bien sžr parce que les phŽnomnes proprement atmosphŽriques sont ici nŽgligŽs).

On dŽduit mathŽmatiquement – cÕest-ˆ-dire formellement - de notre Žquation que la durŽe D de chute ˆ partir dÕune hauteur H de dŽpart vaudra : D= Ã(2H/g).

SchŽmatisons cela ainsi :

 

Notre formalisation thŽorique nous permet donc de comprendre les rapports rŽels entre poids et chute des corps : elle donne forme thŽorique ˆ une loi – la loi dite de la chute des corps - alors que dans notre situation ordinaire, cette loi effective nÕest jamais prŽsentŽe comme telle (et moins encore reprŽsentŽe) : cette loi est certes prŽsente et active dans notre monde physique - les effets de la gravitŽ sont prŽsentables par de simple expŽriences : l‰cher un objet et le voir tomber - mais la loi elle-mme ne lÕest pas : seule une mise en forme spŽcifique peut prŽsenter ˆ la pensŽe la loi qui agit cette rŽalitŽ gravitationnelle commune. Et cette mme loi formelle est indispensable si nous voulons projeter quelque lancement balistique de nouveaux corps dans lÕespace, si nous voulons imaginer de nouvelles trajectoires : pour nouer une imagination ˆ une rŽalisation, il faut que la pensŽe se reprŽsente formellement la loi rationnelle quÕelle va dŽcider de mobiliser.

Pratique thŽorique en quatre Žtapes

SchŽmatisons cette expŽrience quÕon dira de Į pratique thŽorique Č selon cinq Žtapes.

1.     Nous partons dÕune situation concrte initiale quÕon appelle modle – puisque cÕest ce quÕil sÕagit de prendre pour modle, de copier ou de reproduire thŽoriquement.

2.     Nous formalisons chaque chose de ce modle par un symbole littŽral – une lettre – qui est lՎlŽment de base dÕune structure (construite ad hoc) quÕon appelle thŽorie.

3.     La nouvelle qualitŽ principale de cette thŽorie est que ses composantes y sont reliŽes par des opŽrations logiques de dŽduction, dÕencha”nement – on peut y calculer, y dŽmontrer, y raisonner selon des rgles logiques prŽcises qui nÕont pas dÕexistence directe dans notre situation de dŽpart.

4.     Chaque ŽlŽment de la thŽorie – chaque lettre – peut tre ensuite associŽ ˆ une chose du modle par interprŽtation : cette interprŽtation est ŽlŽmentaire pour les choses directement formalisŽes (pour la hauteur dans notre exemple prŽcŽdent) ; elle ne lÕest plus du tout pour les nouveaux symboles produits par la thŽorie (pour la masse G et la constante gravitationnelle g dans ce mme exemple).

5.     La question sur laquelle dŽbouche cette construction symbolique devient alors la suivante : y a-t-il, dans le modle de dŽpart, un lien concret rŽellement attestable entre les choses dont les symboles ont ŽtŽ thŽoriquement liŽs ?

LÕidŽe est ainsi de crŽer des liens rŽciproques entre deux mondes de natures extrmement diffŽrentes : le monde concret du modle (o lÕexistence des objets comme leurs Žventuels rapports sont expŽrimentables) et le monde symbolique de la thŽorie (o les choses sont des lettres abstraites logiquement reliŽes en calculs dŽductifs) :

 

 

Par le dŽtour de ce doublage (les apparences disparates et dispersŽes du modle initial sont doublŽes dÕun monde thŽorique dotŽ dÕune continuitŽ dŽductive), lÕintelligence du monde de dŽpart est bouleversŽe : elle nÕest plus confinŽe dans lÕempirisme t‰tonnant mais accde ˆ une comprŽhension immanente des lois du monde concernŽ et donc de ses lois de transformation.

 

Inscrivons dans ce schŽma trs simple – trop simple bien sžr, format Qui-vive oblige ! – notre souci de dŽpart : symboliser, pour une situation donnŽe, les rapports imaginaire-rŽel et formaliser, pour un possible entraperu dans cette situation, sa mise ˆ lՎpreuve du rŽel propre ˆ cette situation.

En premire approche, on dira terme ˆ terme :

-       le modle figure notre situation de dŽpart ;

-       la thŽorie figure notre espace symbolique propre (espace de pensŽe, dŽductive et imaginative) ;

-       nos flches verticales entre modle et thŽorie (formalisation et interprŽtation) figurent le nouage imaginaire de notre ordre symbolique au rŽel de la situation.

Secret-aveux/thŽorme-dŽmonstrations

Donnons un second exemple de la manire dont un tel type de formalisation peut guider la pensŽe.

 

La sŽance prŽcŽdente, nous avons rŽflŽchi sur les rapports entre les secrets et leurs aveux. Nous avons explorŽ ces rapports ˆ la lumire de deux principes liminaires : le principe quÕon dira de Lacan : Į un secret avouŽ reste un secret Č, et le principe quÕon dira de aS-Sad”q : Į seul un secret peut avouer un secret Č.

Tentons de systŽmatiser cette rŽflexion en la formalisant.

Choisissons de le faire en formalisant les rapports logiques entre secrets et aveux selon les rapports logiques entre thŽormes et dŽmonstrations, en posant donc comme hypothse mŽthodique de travail quÕun secret serait ˆ son aveu comme un thŽorme lÕest ˆ sa dŽmonstration.

 

Cette fiction rationnelle va nous amener ˆ soutenir les cinq points suivants :

1.     Un thŽorme non seulement reste bien un thŽorme aprs avoir ŽtŽ dŽmontrŽ mais un thŽorme a besoin dՐtre dŽmontrŽ pour devenir thŽorme car sÕil ne lÕest pas, son ŽnoncŽ nÕest quÕune conjecture.

LÕinterprŽtation de ce point thŽorique sera la suivante dans notre modle : un secret non seulement reste bien un secret aprs avoir ŽtŽ avouŽ mais il a besoin dՐtre avouŽ pour devenir secret, car sÕil nÕest pas avouŽ, il nÕest quÕune chose inapparente, voire cachŽe.

2.     Toute dŽmonstration part en vŽritŽ dÕun premier ŽnoncŽ attestŽ pour produire un second thŽorme. Toute dŽmonstration circule donc dÕun thŽorme [2] ˆ un autre thŽorme.

InterprŽtation : un aveu part dÕun secret pour produire ˆ un autre secret, le secret mme de lÕaveu, le secret qui constitue comme tel lÕaveu. Soit ces nouvelles lois : un secret ne va jamais seul ! CÕest lÕaveu secret qui fait le secret. Tout aveu est lui-mme porteur de son propre secret.

3.     Un ŽnoncŽ non dŽmontrŽ et qui est proposŽ ˆ la dŽmonstration sÕappelle une conjecture.

InterprŽtation : on appellera Į non-dit Č un Į dissimulŽ Č qui nÕest pas encore constituŽ, par un aveu, en secret, quelque chose de cachŽ qui rode sans tre Žclairci comme constituant un secret effectif.

4.     Une conjecture peut tre dŽmontrŽe mais elle peut tout aussi bien tre rŽfutŽe. Une conjecture peut ainsi devenir un thŽorme ou un ŽnoncŽ faux.

InterprŽtation : on dira quÕun non-dit peut tre confessŽ plut™t quÕavouŽ, distinguant ainsi la confession de lÕaveu. Un non-dit confessŽ, ayant ŽtŽ dit, deviendra un ŽnoncŽ sans valeur subjective, un ŽnoncŽ atone (tout comme une conjecture, ayant ŽtŽ rŽfutŽe, nÕest plus une proposition validable). Le non-dit nomme ici le pseudosecret qui, dՐtre confessŽ, nÕest plus un secret, le pseudosecret qui pour tre dit nÕa pas besoin de mobiliser un autre secret (celui de lÕaveu). Ë lÕinverse, un aveu nÕest pas une confession [3] puisquÕune confession efface le non-dit lˆ o lÕaveu, tout au contraire, active le secret – tout comme une dŽmonstration active une conjecture en en faisant un thŽorme.

5.     Posons-nous une dernire question : un thŽorme peut tre dŽmontrŽ de diffŽrentes manires (selon des diffŽrences de longueur, dՎlŽgance, de dynamique entre les dŽmonstrations).

InterprŽtons cela dans notre modle : un secret peut de mme tre avouŽ de diffŽrentes manires. Mais ces diffŽrentes manires sՎquivalent-elles ? La manire dÕavouer importe-t-elle dans la comprŽhension du secret (tout comme la manire de dŽmontrer importe dans la comprŽhension dÕun thŽorme) ?

 

Arrtons-nous lˆ et prŽsentons plus formellement la formalisation ainsi mise en Īuvre.

On procde pour cela en cinq temps :

a)     En vue de mieux comprendre leur rapport, on formalise deux choses du modle (secret & aveu) selon deux termes thŽoriques thŽorme & dŽmonstration.

b)     Dans lÕespace thŽorique ainsi ouvert, on travaille les rapports (thŽoriques) entre nos termes (thŽoriques). Pour ce faire, on introduit, dans cet espace, trois nouveaux termes (thŽoriques) : conjecture, rŽfutation et proposition fausse.

c)     On dŽgage les liens proprement thŽoriques entre ces cinq termes thŽoriques (voir dans la thŽorie les flches reliant les objets).

d)     On interprte alors dans notre modle nos trois nouveaux termes en trois choses quÕon appellera : non-dit, confession et ŽnoncŽ atone.

e)     On examine enfin dans notre modle les rapports concrets entre nos cinq Į choses Č ˆ la lumire des rapports thŽoriques dŽgagŽs entre nos cinq termes thŽoriques.

Comme on peut le voir, cette formalisation nous a aidŽs ˆ penser les points prŽcŽdemment prŽsentŽs :

-       Un secret a besoin dՐtre avouŽ pour devenir secret.

-       Un secret ne va jamais seul : cÕest lÕaveu secret qui fait le secret.

-       Un non-dit est un pseudosecret auquel manque lÕaveu apte ˆ le constituer en vŽritable secret.

-       Un non-dit peut tre confessŽ ; mais lorsquÕil est confessŽ, ce nÕest plus un non-dit : cela devient un ŽnoncŽ sans intŽrt.

-       Pas plus quÕun secret nÕest un non-dit, un aveu nÕest une confession.

-       Il y a plusieurs manires diffŽrentes dÕavouer un secret, et ces manires modlent diffŽremment le secret en question.

Vous pressentez, je pense, la productivitŽ dÕune telle mise en forme, dÕune telle formalisation.

 

*

Voyons les pas supplŽmentaires que la thŽorie des modles – cette partie de la logique mathŽmatique qui explore cette dialectique modles/thŽories – nous suggre dans ce sens.

ThŽormes logiques

Je me contenterai ici dÕen indiquer deux.

1. ThŽorme de LŽon Henkin

Le thŽorme de Henkin dŽmontre que toute thŽorie cohŽrente admet, du fait mme dՐtre cohŽrente, un modle !

Si lÕon figure la cohŽrence de la thŽorie comme une propriŽtŽ syntaxique, et le fait quÕune thŽorie a un modle comme une propriŽtŽ sŽmantique, ce thŽorme affirme donc que toute cohŽrence syntaxique a prise sŽmantique sur une rŽalitŽ, et donc que toute cohŽrence fait sens - soit assez exactement la seconde partie du fameux ŽnoncŽ de Hegel : tout le rationnel est rŽel.

Vous pressentez lÕimportance considŽrable de ce point : une formalisation, pour peu quÕelle soit rigoureuse, nÕest donc pas un pur jeu abstrait sans prise sur la rŽalitŽ mais, tout au contraire, constitue lÕopŽrateur apte ˆ saisir en rationalitŽ un bout de rŽalitŽ.

Ce thŽorme, en un sens, garantit que le travail de formalisation nÕest pas vain et offre bien prise sur une rŽalitŽ (mme si lÕon ne sait pas toujours trs bien laquelle).

Ce thŽorme constitue ainsi un considŽrable encouragement ˆ la thse selon quoi formaliser, cÕest bien penser – la difficultŽ pouvant alors rŽsider dans le fait de bien comprendre ce que votre formalisation en cours pense rŽellement, le rŽel effectif quÕelle tente de circonscrireÉ

2. ThŽorme de Lowenheim-Skolem

Le second thŽorme – celui de Lowenheim-Skolem – dŽmontre que toute thŽorie dÕun modle donnŽ admet Žgalement un modle dÕun tout autre type.

Figurons cela ainsi :

QuÕest-ce ˆ dire ? Ceci : une thŽorie formelle dÕune situation concrte donnŽe rend tout aussi bien compte dÕune situation non moins concrte qui, selon les apparences, nÕa absolument rien ˆ voir avec la prŽcŽdente !

Ce thŽorme indique, cette fois, que toute formalisation manque ˆ saisir la singularitŽ dÕune situation : si elle en saisit bien une particularitŽ, celle-ci sÕavre partageable par bien dÕautres, sans aucun rapport concret ou empirique entre elles.

 

On dispose donc de deux thŽormes inverses :

-       le premier indique un excs de la formalisation : elle est capable, par elle-mme, de pensŽe, fut-ce dÕun rŽel quÕelle seule distingue ;

-       le second indique un manque de la mme formalisation : elle est incapable de formaliser spŽcifiquement une situation donnŽe et ne peut que formaliser une classe de situations, sans rapports apparents entre elles.

Indiquons ici que les dŽmonstrations de ces deux thŽormes reposent sur le mme point fondamental : dans ce contexte, et par dŽfinitions, une situation est infinie quand une thŽorie est nŽcessairement finie. Autrement dit, ces thŽormes dŽgagent les manques et excs dÕun nouage entre un rŽel infiniment diversifiŽ, une symbolisation finie et un imaginaire transfini.

Au totalÉ

Je conclurai par quatre points,

1

Formalisation veut dire mise en forme.

Il sÕagit donc ici dÕun Žloge du travail formel ˆ la condition – capitale - quÕil soit menŽ avec rigueur, consŽquence, fidŽlitŽ ˆ sa logique propre.

CÕest dÕailleurs trs exactement la leon que nous enseigne Baldovino dans la pice de Pirandello La voluptŽ de lÕhonneur dont il a ŽtŽ prŽcŽdemment question : formaliser engage, et on ne sait pas trop ˆ lÕavance jusquÕo cela va vous engager.

En ces temps dՎcartlement entre imagination utopique et rŽalisme rŽsignŽ, cette leon est primordiale : le travail des formes constitue une ressource essentielle pour la pensŽe, pour mettre des possibilitŽs entraperues ˆ lՎpreuve de quelque rŽalitŽ.

2

On objecte souvent quÕa priori de telles formes sont vides de contenu, creuses et dŽpourvues de toute intensitŽ subjective.

Mais la formalisation dont il est ici question nÕest pas le formalisme (entendu au sens dÕune pure convenance insignifiante, dÕune logique figŽe et conservatrice des apparences). Tout au contraire, et conformŽment ˆ une remarque de Kant dans sa troisime Critique, on soutiendra que lÕexpŽrience subjective dŽmontre que ce sont prŽcisŽment les formes les plus vides de tout contenu, de toute reprŽsentation et interprŽtation convenues, qui sÕavrent les plus susceptibles de soulever lÕenthousiasme : Į Sans enthousiasme, rien de grand ne peut se faire. Or cÕest lorsque les sens ne voient plus rien devant eux mais que demeure pourtant lÕIdŽe purement formelle que lՎlan de lÕenthousiasme devient irrŽsistible. Č

3

Que faisons-nous dÕautre, en ces sŽances Qui-vive, si ce nÕest formaliser, avec le plus de rigueur et de sŽrieux possibles, les alliances et rŽsonances qui nous semblent manquer au monde actuel !

Bien sžr, on lÕa vu, formaliser nÕest pas effectuer. Mais formaliser nÕest pas non plus rver. Formaliser, cÕest organiser une interaction symbolique susceptible de prŽfigurer les collectivitŽs Žmancipatrices qui manquent cruellement ˆ notre temps. Formaliser, cÕest alors autoriser que le collectif que nous constituons ce soir se rŽflŽchisse comme symbolisation cŽrŽmoniale de lՎventuelle puissance transformatrice des idŽes que nous partageons lors de cette soirŽe.

4

Une fois posŽe la puissance formalisatrice, nÕoublions pas, cependant, son manque, ses limites et ses propres impasses.

Une des caractŽrisations lacaniennes du rŽel est en effet de poser que Į le rŽel est lÕimpasse de la formalisation Č ce qui, en un sens, relve le caractre trouŽ de la formalisation – ce trou que pointe le thŽorme de Lowenheim-Skolem puisque que toute formalisation, en tentant dÕattraper une rŽalitŽ, en attrape forcŽment une quantitŽ dÕautres qui concrtement nÕont rien ˆ voir avec la premire : on lÕa vu, la puissance de la formalisation sÕavre ici indissociable dÕun aveu dÕimpuissance : cette impuissance du formel ˆ cerner le point exact de rŽel dÕune situation donnŽe. DÕo que la mise ˆ lՎpreuve des hypothses formelles se double toujours dÕune mise ˆ lՎpreuve de la formalisation elle-mme.

DÕo cette ultime leon : la formalisation est un guide indispensable pour lÕintervention concrte mais ce guide doit se mettre lui-mme ˆ lՎpreuve de lÕenqute matŽrialiste quÕil guide !

 

Je vous remercie.

 

***



[1] borromŽennement

[2] ou plus exceptionnellement dÕun axiome

[3] lÕaveu ne relve pas dÕune dissimulation volontaire, moins encore dÕune culpabilitŽ attachŽe ˆ ce type de dissimulation