IntŽgration & mesure

(PublicitŽ mathŽmatique – sŽance Qui-vive du 6 mars 2015)

 

ProblŽmatisation

Cette cinquime leon de mathŽmatiques sera consacrŽe ˆ la thŽorie de lĠintŽgration.

Pourquoi retenir cette notion pour nos sŽances Qui-vive ? Quelle acuitŽ, quel Žclairage pour nous ?

 

Suivons pour cela le fil mŽtaphorique suivant : une fonction mathŽmatique est une sorte de travail qui transforme une donnŽe – un matŽriau donnŽ - en un rŽsultat. Par exemple la fonction Ä : y=Ä(x) transforme x en y ; dans le cas le plus banal, x et y sont des nombres en sorte que la fonction est le travail numŽrique de transformation du nombre x en le nombre y : par exemple, si Ä(x)=x2, le travail va consister ˆ Žlever le nombre x au carrŽ en sorte de transformer le nombre 3 en le nombre 9, le nombre 12 en le nombre 144, etc.

Je vais donc interprŽter la fonction y=Ä(x)

comme travail Ä transformant un matŽriau brut x en un rŽsultat ouvragŽ y :

IntŽgrer une telle fonction, cela revient alors ˆ sommer son travail, travail spŽcifiŽ fourni sur un domaine dŽlimitŽ – par exemple un intervalle [a, b]. On Žcrit dans ce cas :

Ä(x).dx

Comprendre lĠintŽgration mathŽmatique (ses conditions de possibilitŽ, ses opŽrations et ses rŽsultats), cĠest donc comprendre comment quantifier tout le travail fourni par tel ou tel opŽrateur dans une situation donnŽe, comment en faire la somme Ç intŽgrale È.

 

La mathŽmatique va ici attirer notre attention sur lĠimportance dŽcisive pour ce faire des questions de mesure : lĠintŽgration dĠune fonction donnŽe sur un domaine donnŽ mobilise, implicitement ou explicitement, une mesure prŽcise de ce domaine. Ainsi, pour calculer le travail ˆ fournir sur un domaine donnŽ, il faut certes savoir mesurer le domaine quĠil sĠagit de travailler, son Žtendue propre, mais il faut surtout mesurer cette Žtendue non pas en gŽnŽral mais bien telle quĠelle appara”t pour le travail en question. Comme on va le voir, il nĠy pas vraiment ici de mesure a priori, universelle, naturelle du domaine ˆ travailler, mesure qui pourrait alors valoir quel que soit le travail ˆ effectuer sur ce domaine de dŽpart. Pour sommer le travail effectivement fourni sur un domaine spŽcifique, il va falloir produire une mesure ad hoc de ce domaine, cĠest-ˆ-dire une mesure de la manire dont ce domaine appara”t pour le travail en question et pour lui seul.

Or ce point a mis trs longtemps ˆ tre mathŽmatiquement clarifiŽ : pendant des millŽnaires, les mathŽmaticiens ont mesurŽ, arpentŽ, calculŽ surfaces et volumes, sans pour autant disposer dĠune thŽorie claire de ce que mesurer veut exactement dire. Il a fallu au XIXĦ sicle Žlaborer une thŽorie de lĠintŽgration pour quĠŽmerge progressivement la nŽcessitŽ concomitante dĠune thŽorie explicite de la mesure.

 

Tentons de lĠintuitionner en suivant notre fil mŽtaphorique du travail. Prenons pour cela, comme domaine de dŽpart, une usine donnŽe – par exemple lĠancienne usine automobile de Billancourt [1] - et demandons-nous comment Žvaluer lĠensemble du travail productif fourni sur ce site pendant un laps de temps donnŽ.

Il nous faut pour cela sommer des travaux forts divers (ceux des manÏuvres, des OS, des OP et dĠautres agents productifs) sans a priori en nŽgliger aucun ; mais pour les sommer, il nous faut disposer dĠune unitŽ de compte commune (on ne saurait sommer des coups de balai ou de lime pour ajuster des picesÉ), une unitŽ de compte apte ˆ quantifier de manire homogne et cohŽrente les diffŽrents travaux productifs mis en Ïuvre sur ce site pendant le laps de temps considŽrŽ.

On peut imaginer pour ce faire diffŽrents instruments de compte et par lˆ de mesure.

á       On peut mesurer les heures de travail brutes effectuŽes : on sommera le travail fourni en intŽgrant tous les horaires de travail du personnel productif sur la durŽe retenue.

á       On peut choisir au contraire de mesurer le travail fourni ˆ ses rŽsultats effectifs cĠest-ˆ-dire au nombre dĠobjets produits : on sommera ici les voitures et leurs diverses pices constitutives [2] qui ont ŽtŽ effectivement produites pendant la durŽe choisie.

á       On peut choisir aussi de mesurer les heures de travail non plus de manire brute mais en les modulant et pondŽrant selon la duretŽ, la pŽnibilitŽ et la compŽtence mobilisŽe : on prendra alors en compte la minutie dĠune heure de travail, sa dangerositŽ, sa qualification pour lĠincorporer ˆ la mesure des heures effectivement travaillŽes.

á       On pourrait Žgalement imaginer quĠon mesure cette fois tout le travail productif effectuŽ en sommant tout btement les salaires versŽs, salaires censŽs constituer la juste contrepartie monŽtaire du travail effectivement fourni.

Comme vous le voyez, il nĠy a pas vraiment ici de mesure unique qui sĠimposerait ˆ tout coup : sommer le travail productif en question – lĠintŽgrer donc – implique de trancher entre plusieurs logiques de mesure et de compte : entre horaires effectuŽs (bruts ou corrigŽs), masse des objets produits, salaires versŽs (sans nŽgliger dĠautres possibilitŽs encore, o la logique de la mesure serait plus spŽcifiquement ajustŽe au type de travail organisŽ dans cette usine automobile et ˆ nul autre : on pourrait ainsi mesurer le travail effectuŽ ˆ la quantitŽ dĠacier quĠil a effectivement transformŽ cĠest-ˆ-dire cette fois non plus aux rŽsultats du travail mais au matŽriau transformŽ par ce travail).

 

Comme nous allons le voir, clarifier mathŽmatiquement cette dialectique du travail et de sa mesure, dialectique qui opre au principe mme de lĠintŽgration, tout ceci a prisÉ des millŽnaires !

CĠest un leitmotiv de ces leons : la crŽation dĠidŽes vraiment neuves par lĠhumanitŽ a pour Žchelle temporelle les sicles plut™t que les jours et pour base matŽrielle de vastes collectifs, ˆ la fois de composantes diverses et dĠorientations communesÉ

 

Pour entrer concrtement dans la mathŽmatique de lĠintŽgration, situons-nous dans le cas le plus simple : celui ŽvoquŽ prŽcŽdemment dĠune fonction numŽrique ˆ une seule variable numŽrique y=Ä(x).

y=Ä(x)

Soir Ä une fonction qui ˆ tout nombre x fait correspondre le nombre y=Ä(x).

Le travail de la fonction Ä consiste ˆ transformer un nombre x en un autre nombre y. Son travail numŽrique produit un nouveau nombre y ˆ partir dĠune matire premire constituŽe par le nombre de dŽpart x.

Comme vous le savez sans doute, on peut reprŽsenter cette fonction numŽrique par sa courbe caractŽristique dans un cadre dit orthonormŽ [3].

Description : IntŽgrale

IntŽgrer cette fonction Ä(x) sur un intervalle donnŽ [a,b] – cĠest lˆ notre domaine de dŽpart –, cĠest alors calculer quelque chose comme lĠaire de la surface dŽlimitŽe horizontalement par lĠaxe des x et par la courbe Ä(x) et verticalement par les verticales en a et en b [4].

LĠintŽgrale en question sĠŽcrit canoniquement ainsi – on va voir pourquoi - :

Ä(x).dx

Comment calculer cette intŽgrale lorsquĠon la reprŽsente par lĠaire de la surface grise ?

LĠidŽe intuitive est quĠil faut pour cela que la somme des petits rectangles (semblable ˆ ceux figurŽs ci-dessous) converge vers une unique valeur lorsque lĠintervalle horizontal rŽgulier de largeur Ĉx (qui norme la taille horizontale des rectangles) tend vers 0.

Description : Riemann

Comment prŽciser cette idŽe et mieux cerner ses conditions de validitŽ ?

 

Pour ce faire, trois mŽthodes vont tre successivement avancŽes, qui vont respectivement donner lieu aux intŽgrales dites de Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock.

IntŽgrale de Riemann

La thŽorie de lĠintŽgrale commence au milieu du XIXĦ sicle [5] avec Riemann [6].

LĠidŽe de Riemann est de partir, comme on lĠa suggŽrŽ plus haut, dĠaires ŽlŽmentaires telle celle-ci :

Description : Riemann

On peut approcher cette aire par le produit Ä(x).Ĉx [7].

LĠidŽe va tre de dŽcouper tout lĠintervalle horizontal explorŽ selon un pas constant et uniforme :

Description : Riemann-pas

Au total, dans certaines conditions prŽcises (de forte continuitŽ de la fonction traitŽe), Riemann montre que la somme ·Ä(x).Ĉx aura une limite unique [8] qui sĠŽcrira

şÄ(x).dx= limĈx→0·Ä(x).Ĉx [9]

LĠidŽe est donc ici de balayer la fonction selon un striage rŽgulier (ici Ĉx) du domaine de dŽpart, striage destinŽ ˆ progressivement sĠaffiner (Ĉx→0) de manire tout ˆ fait indŽpendante des particularitŽs et accidents de Ä(x). Ainsi deux fonctions diffŽrentes Ä(x) et g(x) seront intŽgrŽes selon le mme striage :

Description : Riemann-f&g

Remarque

Notre intŽgrale sĠŽcrit ici de manire condensŽe :

şÄ(x).dx

mais la notation dx ici adoptŽe ne distingue pas lĠintervalle (disons sa grandeur gŽomŽtrique) de sa mesure (disons son nombre arithmŽtique) – cette subtilitŽ [10] concentre prŽcisŽment la difficultŽ de la question. Diviser ce qui est confondu par la simple notation dx nŽcessiterait de distinguer lĠintervalle ĥ(x) de sa mesure µ(ĥx) [11] - tel va tre lĠenjeu des nouvelles intŽgrales.

Comme on va le voir, cette confusion est ici possible car la mesure implicitement retenue de lĠaxe des x est uniforme et indŽpendante de la fonction Ä(x) : cĠest la longueur numŽrique naturelle de lĠintervalle horizontal (sur lĠaxe des x).

Or ˆ lĠŽpoque de Riemann, la question spŽcifique de la mesure nĠest pas encore clairement distinguŽe.

Mais les mathŽmaticiens ne vont pouvoir en rester lˆ pour une raison prŽcise : la somme de Riemann ·Ä(x).Ĉx ne converge que pour les fonctions les plus classiques ; et ds que la fonction Ä comporte des discontinuitŽs, mme relativement rares et aisŽment localisables, la somme prŽcŽdente ne peut plus converger.

IntŽgrale de Lebesgue

La seconde Žtape va intervenir au tout dŽbut du XXĦ [12] avec Lebesgue [13] qui va dŽgager une nouvelle notion dĠintŽgrale reposant explicitement sur une thŽorie de la mesure [14].

 

Pour arriver ˆ intŽgrer des fonctions discontinues, lĠidŽe de Lebesgue va tre de renverser le paramŽtrage de la fonction Ä et de la strier dŽsormais non plus selon des intervalles horizontaux sur lĠaxe des x mais selon des intervalles verticaux sur lĠaxe des y : il va ainsi associer, ˆ une valeur y donnŽe, un intervalle vertical Ĉy puis prendre en compte toutes les valeurs de x telles que Ä(x) appartient ˆ cet intervalle Ĉy (soit ce quĠon appelle lĠimage rŽciproque de Ĉy en x, image qui mobilise la relation rŽciproque – non fonctionnelle [15] –Ä-1) :

Description : Lebesgue

Si lĠon appelle µ(Ĉy) la somme des intervalles horizontaux ainsi dŽlimitŽs [16], la valeur approchŽe [17] de la surface associŽe va tre y.µ(Ĉy).

LĠidŽe va tre de dŽcouper lĠaxe vertical - entre les valeurs min et Max obtenues par la fonction Ä(x) sur lĠintervalle de dŽfinition [a, b] - selon un pas constant et uniforme Ĉy :

Description : Lebesgue-pas

LĠintŽgrale de Lebesgue sera alors dŽfinie comme la limite (quand elle existe) de la somme ·y.µ(Ĉy) lorsque Ĉy tend vers zŽro :

şÄ(x).dx=limĈy→0·y.µ(Ĉy)

On dŽmontre alors que si lĠintŽgrale de Lebesgue existe, lĠintŽgrale de Riemann existe Žgalement et que les deux intŽgrales ont bien mme limite.

Ë nouveau, ce striage (cette fois horizontal) est rŽgulier et relativement indŽpendant des particularitŽs de la courbe intŽgrŽe Ä(x) – il ne dŽpend plus que des extremums de la fonction considŽrŽe (minimum et maximum) :

Description : Lebesgue-f&g

Son avantage essentiel – qui rend compte du fait que cette manire dĠintŽgrer permet de Ç nŽgliger È les discontinuitŽs locales [18] – est de paramŽtrer la courbe y=Ä(x) du point de ses rŽsultats (en y) et non plus du point de son origine variable (en x) ; lĠŽvaluation revient ˆ examiner (de proche en proche selon lĠaxe vertical) lĠimportance dĠun rŽsultat y donnŽ en prenant mesure des x qui lĠengendrent.

 

La logique de la totalisation est donc ici la suivante :

á   on classe lĠensemble des rŽsultats obtenus entre un minimum et un maximum ;

á   on paramtre lĠintervalle des rŽsultats ainsi dŽlimitŽ selon un pas rŽgulier Ĉy ;

á   on examine ˆ chaque Žtape le poids de ce rŽsultat en mesurant ˆ quel intervalle horizontal il correspond [19] ;

á   on passe ˆ la limite en affinant lĠintervalle selon les y. [20]

 

Lebesgue illustre ce renversement (Ç remplacer les divisions de lĠintervalle de variation de la variable par des divisions de lĠintervalle de variation de la fonction È) de la manire suivante :

Ç Au lieu de penser toujours aux valeurs de la variable, pensez ˆ celle de la fonction. LĠintŽgrale est toujours une somme. Comment un comptable fait-il sa caisse ? ƒvidemment il peut ajouter les sommes reues au fur et ˆ mesure, mais en rŽalitŽ, il ne fait pas ainsi : il classe en liasses les billets de mme valeur : tant de billets de mille francs, tant de billets de cinq cent francs, etc. Bref il classe dĠaprs la valeur de la fonction. È

Ainsi un commerant peut faire le total de son travail marchand de la journŽe de deux manires diffŽrentes : en additionnant le montant de toutes ses transactions successives (mŽthode de Riemann) ou en additionnant les liasses de billets et pices de monnaie prŽalablement triŽes et regroupŽes (mŽthode de Lebesgue).

Mesure de Lebesgue

Ce faisant, Lebesgue a construit une mesure tout ˆ fait originale de lĠaxe des x, une mesure cette fois indirecte car reposant sur lĠabscisse comme image rŽciproque de lĠordonnŽe [x≡Ä-1(y)] et non plus directement sur x. Une consŽquence immŽdiate de ce caractre indirect est que la mesure de lĠaxe des x est dŽsormais variable : elle dŽpend Žtroitement des propriŽtŽs particulires de la fonction Ä.

Par comparaison, on voit que la mesure (implicite) de Riemann [21] Žtait directe car elle se faisait directement sur lĠaxe des x et uniforme (indŽpendante de la fonction considŽrŽe).

 

La plus grande gŽnŽralitŽ de lĠintŽgrale de Lebesgue semblait, au dŽbut du XXĦ sicle, assurer la prŽvalence dŽfinitive du point de vue privilŽgiant les rŽsultats (ou ordonnŽes) sur les origines (ou abscisses).

Mais la mathŽmatique nous a livrŽ ensuite un coup de thŽ‰tre comme elle seule sait en produire : un nouveau mode dĠintŽgration va venir refonder lĠopŽration dĠintŽgration sur les bases horizontales que Riemann lui avaient donnŽes il y a plus de cent ans (dĠo quĠelle soit souvent appelŽe intŽgrale de Riemann gŽnŽralisŽe).

IntŽgrale de Kurzweil-Henstock

Cette troisime et dernire Žtape [22] est intervenue dans la seconde partie du XXĦ [23], avec lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock [24].

 

LĠidŽe est la suivante : il sĠagit de paramŽtrer ˆ nouveau la fonction selon lĠaxe des x mais en le faisant cette fois, non plus rŽgulirement et indŽpendamment des particularitŽs de la fonction Ä prise en compte, mais en Žlaborant une Ç jauge È (une sorte de mesure souple et ad hoc) qui segmente lĠaxe des x en intervalles variables ajustŽs ˆ la spŽcificitŽ de la fonction Ä(x). Grosso modo, le principe va tre dĠadopter un pas modulŽ, fonction de la variabilitŽ locale de la fonction : le pas sera large lorsquĠil se passe peu de choses (lorsque le travail de la fonction est monotone et rŽgulier) et il sera resserrŽ lorsque la fonction Žvolue plus fortement (lorsque le travail de la fonction est plus diversifiŽ et minutieux) - dans lĠexemple ci-dessous le pas tend ˆ varier en fonction des fluctuations de la dŽrivŽe premire : pour une droite il serait constant [25] :

Description : KH

On voit donc que la jauge adoptŽe pour lĠaxe des x est ici spŽcifique ˆ Ä et a priori ne vaut plus pour une autre fonction g :

Description : KH-f&g

Cette jauge suppose donc une connaissance prŽalable de la fonction Ä(x) et de son travail spŽcifique sur le domaine considŽrŽ, connaissance quĠelle va incorporer en variations locales sur lĠaxe de la variable x.

DĠo trois traits distinctifs :

1.     Cette jauge nĠŽtablit plus une mesure constante et donc gŽnŽrale comme celle qui opŽrait implicitement dans lĠintŽgrale de Riemann puisque cette jauge est ajustŽe ˆ la spŽcificitŽ de Ä.

2.     Cette jauge nĠŽtablit pas une mesure indirecte via les rŽsultats de la fonction Ä (en y) puisquĠelle se base directement sur les particularitŽs (en x) du travail de Ä. Elle est donc donnŽe directement sur lĠaxe des x et non plus indirectement comme image rŽciproque (sur x des variations en y)

Dans lĠimage proposŽe par Lebesgue du commerant et de sa caisse, cĠest comme si le comptable des transactions, instruit des variations horaires dĠaffluence, faisait au cours de la journŽe des caisses provisoires irrŽgulirement espacŽes : les prŽcipitant aux heures de pointe pour les espacer aux heures creuses,

On dŽmontre alors que si lĠintŽgrale de Lebesgue existe, lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock existe Žgalement et que les deux intŽgrales ont mme limite. On assiste ainsi ˆ une extension progressive de la notion dĠintŽgrale (Riemann Lebesgue Kurzweil-Henstock) o les anciennes possibilitŽs dĠintŽgration ne sont pas raturŽes mais subsumŽes.

3.     Cette jauge, directe et variable, est une fonction qui repose sur une propriŽtŽ locale (au voisinage dĠun point x) de la fonction Ä : la finesse locale requise pour une bonne partition - en ce voisinage - des donnŽes entrant dans la fonction Ä. [26]

 

RŽsumons nos trois types de mesure dĠun tableau :

 

mesure

constante

et donc gŽnŽrale

variable

car spŽcifique

directe

Riemann

Kurzweil-Henstock

indirecte

Lebesgue

 

 

á       Riemann Žvalue le travail de la fonction ˆ partir dĠun domaine balisŽ et directement mesurŽ de manire ˆ la foi uniforme et indŽpendante du travail qui a tre effectuŽ.

á       Lebesgue Žvalue le travail de la fonction en b‰tissant indirectement une mesure ad hoc du domaine ˆ travailler, mesure indirecte car dŽduite dĠune stricte logique des rŽsultats.

á       Kurzweil-Henstock Žvalue le travail de la mme fonction en b‰tissant directement une jauge locale ad hoc du travail spŽcifique ˆ mener sur le domaine retenu ; ainsi sa mesure dŽcoulera directement dĠun examen minutieux du travail particulier ˆ accomplir sur le domaine dŽlimitŽ (via une jauge opŽrant comme une sorte dĠindicateur sismographique de la finesse du travail en x de la fonction Ä) plut™t quĠil ne se fie, a posteriori et indirectement, aux rŽsultats du travail une fois quĠil aura ŽtŽ entirement effectuŽ.

Exemple

Si lĠon transpose ces trois logiques dans notre registre mŽtaphorique (celui du travail productif dans une industrie automobile donnŽe), on peut alors dŽgager trois manires de mesurer le travail productif et par lˆ de lui attribuer un salaire ajustŽ ˆ ce travail :

Rappelons que notre usage de la mathŽmatique est ici celui dĠun Žclairage : la lumire des mathŽmatiques nous aide ˆ penser, ˆ nos propres risques et pŽrils ; il ne sĠagit donc pas dĠabriter notre pensŽe derrire une supposŽe application technique des mathŽmatiques ˆ nos prŽoccupations extra-mathŽmatiques.

-   lĠintŽgrale de Riemann correspondrait ˆ un salaire horaire uniforme,

-   lĠintŽgrale de Lebesgue ˆ un salaire aux pices

-   et lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock ˆ un salaire horaire finement diffŽrenciŽ selon les compŽtences techniques, les pŽnibilitŽs mobilisŽes dans chaque t‰che.

 

On pourrait alors se risquer ˆ Žlargir un peu plus avant notre mŽtaphore :

á       une mesure naturelle, homogne, monotone, immŽdiatement commune ˆ toutes t‰ches – telle celle implicitement au principe de lĠintŽgrale de Riemann – convient aux t‰ches communes, banalement substituables, du moins telles quĠelles sont conues par un capitalisme qui les mesure uniformŽment au fil dĠun Žquivalent monŽtaire gŽnŽral ;

á       une mesure spŽcifique, basŽe sur lĠefficacitŽ diversifiŽe des diffŽrents temps de travail – celle explicitement au principe de lĠintŽgrale de Lebesgue – convient ˆ des t‰ches diversifiŽes telles quĠun ingŽnieur peut proposer dĠen prendre mesure ; comme on le sait, le socialisme a ŽtŽ une tentative de mettre le point de vue de lĠingŽnieur sur la production au poste de commandement [27] ;

á       reste une mesure spŽcifique, qui cette fois ne serait plus basŽe sur les rŽsultats effectifs mais qui prendrait en compte directement les contributions diversifiŽes de chacun au rŽsultat collectif – on y reconna”tra la jauge au principe de lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock ; on sĠautorisera dĠy reconna”tre le vieux principe communiste du Ç chacun selon ses capacitŽs È [28].

On disposerait ainsi, en vis-ˆ-vis de nos trois styles de mesure, les trois Žtapes [29] du capitalisme, du socialisme et du communismeÉ

Vous voyez jusquĠo peut nous mener cette dialectique serrŽe et intime de la mesure et de lĠintŽgration !

z=Ä(x, y)

Revenons plus en dŽtail sur les difficultŽs quĠont rencontrŽes les mathŽmaticiens pour dŽgager une thŽorie explicite de la mesure.

 

On lĠa vu : intŽgrer, cĠest totaliser le travail dĠune fonction sur un domaine donnŽ.

DĠo ces deux traits de lĠintŽgration.

1.     LĠintŽgration est une totalisation ; ˆ ce titre, elle doit ne rien laisser Žchapper : il sĠagit lˆ dĠune somme intŽgrale.

2.     QuĠest-ce que lĠintŽgrale totalise ? Elle totalise un travail - le travail dĠune fonction donnŽe sur un domaine donnŽ – et non pas exactement les rŽsultats de ce travail [30].

 

Voyons comment tout ceci va se donner dans une situation un peu plus compliquŽe que notre fonction Ä(x) ˆ une seule variable : dans le cas o notre domaine de dŽpart – domaine de validitŽ de la fonction – est une surface ˆ deux dimensions en sorte que notre fonction va tre dŽsormais ˆ deux variables Ä(x, y).

Trois exemples

Prenons pour cela de nouveaux exemples.

Exemple 1

Le premier sera dĠordre architectural.

Supposons quĠil sĠagisse de couvrir une piste de ski existante en sorte dĠŽdifier, sur un versant irrŽgulier de montagne, un stade de ski couvert, dotŽ dĠun toit en pente (favorisant lĠŽvacuation naturelle de la pluie et de la neige).

La pose du toit va nŽcessiter lĠŽlŽvation dĠune sŽrie de pyl™nes de tailles variables aptes ˆ le supporter.

Nous avons donc une surface de dŽpart – la piste de ski. La sŽrie des pyl™nes va soutenir une seconde surface, la surface dĠarrivŽe constituŽe par le toit du stade. Ces deux surfaces dŽlimitent un volume : celui-lˆ mme du stade quĠil sĠagit dĠŽdifier. Tout ceci est parfaitement mesurable en mtres, m2 et m3.

Si lĠon veut maintenant Ç intŽgrer È le travail de construction que la construction de ce volume va nŽcessiter, comment prendre mesure de la totalitŽ de son cožt ?

On ne saurait plus le faire avec un simple dŽcamtre et quelque rgle de trois ! Certes la surface au sol que couvrira le stade entrera bien en ligne de compte mais on ne saurait procŽder ici par un cožt moyen au m2 sĠil est vrai que la difficultŽ dĠŽlever des pyl™nes ne sera nullement uniforme sur tout le sol bosselŽ et en pente variable de la piste de ski. On ne saurait non plus le faire par simple calcul du volume quĠaura le stade une fois achevŽ. Il faudra bien plut™t faire intervenir ici une Ç jauge È pour moduler par exemple le cožt des pyl™nes selon que leur appui se fera sur un sol plat et ferme (rocher) ou sur un sol en pente et meuble (terre), selon que leur hauteur sera plus ou moins importante (il sĠagit en effet de relier un sol irrŽgulier ˆ une couverture rŽgulire), etc. Tout de mme, la surface du toit interviendra bien dans le cožt total [31] ; mais si le but de lĠopŽration architecturale est lĠŽlŽvation de cette surface couvrante (pour protŽger la piste des intempŽries), la mesure du travail ˆ accomplir pour arriver ˆ ce rŽsultat ne saurait se limiter au simple cožt de cette surface.

On pressent ainsi quĠintŽgrer le travail ˆ mener sur la surface de dŽpart (la piste de ski) implique dĠŽdifier une mesure ad hoc du volume rŽsultant, mesure qui ne se limite plus au calcul dĠune aire multipliŽe par une hauteur mais qui prend en compte avec prŽcision la nature mme des travaux quĠil sĠagit dĠy mener.

Exemple 2

Imaginons que nous soyons chercheur dĠor ou de truffes dans une rŽgion donnŽe.

Pour mesurer le travail qui nous attend, nous nĠallons pas Žvaluer lĠŽtendue commune de cette rŽgion de la mme manire selon ce que nous cherchons car nous savons dĠavance que les probabilitŽs de trouver de lĠor ou des truffes ne sont pas uniformŽment rŽparties sur notre rŽgion et que les zones propices ˆ notre recherche seront diffŽrentes selon que nous cherchons un mŽta prŽcieux ou un organisme rare. Mesurer le travail qui nous attend sur la rŽgion retenue impliquera dĠaffecter chaque km2 ˆ explorer dĠun coefficient indiquant la chance dĠy trouver soit de lĠor soit des truffes, et prenant ainsi mesure du fait que notre recherche devra concentrer son attention sur les zones a priori propices et se faire plus rapidement sur les zones a priori plus stŽriles.

Exemple 3

Imaginons enfin quĠune armŽe veuille occuper un territoire donnŽ. LĠŽvaluation de la t‰che qui lĠattend va certes prendre en compte le nombre de km2 ˆ contr™ler mais elle ne va aucunement sĠen tenir lˆ : il sĠagira de diffŽrencier les zones de ce territoire selon la difficultŽ ˆ en prendre possession puis ˆ le m‰ter durablement  en sorte que prendre mesure du travail qui attend cette armŽe ne pourra aucunement se limiter au nombre brut des km2 ˆ couvrir mais nŽcessitera un calcul ad hoc et diversifiŽ des Žtendues concernŽes.

Fonction ˆ deux variables

Formalisons une fonction Ä qui ˆ tout point dĠune surface donnŽe va associer un nombre (rŽel).

Notre surface Žtant par dŽfinition ˆ deux dimensions [32], notre domaine de dŽpart est paramŽtrable par deux coordonnŽes x et y.

On dira que notre fonction Ä associe ˆ tout point (x, y) de notre domaine D le nombre rŽel z notŽ z=Ä(x, y).

Dessinons notre situation : en chaque point (x, y) du domaine D, on dresse une verticale dont la longueur sera proportionnelle au nombre z=Ä(x, y). On engendre ainsi une nouvelle surface ondulŽe R qui recouvre tout le domaine D ˆ distance variable, cette distance Žtant prŽcisŽment proportionnelle au nombre z=Ä(x, y). Cette surface R rassemble lĠensemble des rŽsultats de la fonction – cĠest dĠailleurs pour cela que nous lĠavons notŽe R.

IntŽgrer cette fonction Ä sur D, cĠest sommer lĠensemble du travail opŽrŽ par la fonction qui a produit les rŽsultats rassemblŽs par R.

On peut dire que le travail total de notre fonction sur le domaine D est figurŽ par lĠŽtendue totale qui relie notre domaine de dŽpart D au nouveau domaine R engendrŽ par la fonction Ä. Cette Žtendue totale Žtant ˆ trois dimensions, calculer le travail total de notre fonction sur notre domaine ressemble au calcul du volume V.

IntŽgrer notre fonction Ä sur le domaine D, cĠest donc calculer quelque chose qui se prŽsente comme un volume V, soit la multiplication dĠune surface par une hauteur.

On peut alors Žcrire le volume total V comme somme de petits volumes s(Ĉd).FĈd o s(Ĉd) mesure la surface dĠun petit bout Ĉd du domaine D et FĈd la hauteur moyenne donnŽe par la fonction Ä sur ce petit bout Ĉd ; soit

V·s(Ĉd).FĈd

produit que lĠon Žcrit plus classiquement dans lĠordre inverse :

V·FĈd.s(Ĉd)

La difficultŽ est ici toujours la mme : il faut savoir mesurer, adŽquatement ˆ Ä, la surface du petit bout de domaine Ĉd et, par extension, de tout le domaine D.

Mesurer ?

Ç Dans lĠarchitecture arabe, on marche. [É] Une maison arabe est mesurŽe au pas des jambes, ˆ la hauteur des Žpaules. Les patios et chambrettes sont dimensionnŽs ˆ la calme mesure des pas, et les hauteurs du tout ont celles quĠestime une tte. È Le Corbusier (Louange ˆ lĠAlgŽrie)

 

Il est tout ˆ fait remarquable que la question Ç quĠest-ce que mesurer ? È nĠait ŽtŽ vraiment clarifiŽe quĠau tout dŽbut du XXĦ sicle lors mme que la pratique de la mesure est ancestrale, et bien antŽrieure ˆ lĠinvention des mathŽmatiques dŽmonstratives par les Grecs (autour du VĦ sicle av. J.-C.).

Les problmes dĠarpentage sont de vieux problmes, babyloniens et Žgyptiens mais la thŽorie de ce calcul nĠa ŽtŽ dŽgagŽe que des millŽnaires plus tard.

CĠest lˆ une vertu des mathŽmatiques que de nous rappeler lĠŽchelle historique rŽelle des processus collectifs de pensŽe – ici lĠeffort collectif pour arriver ˆ penser lĠŽcart dialectique entre les calculs et la raison : de la mme manire quĠil a fallu des millŽnaires pour que lĠhumanitŽ arrive ˆ comprendre que zŽro est bien un nombre et pas un simple signe dĠopŽration dans un calcul, il lui a aussi fallu des millŽnaires pour arriver ˆ comprendre ce que mesurer veut dire !

Un triplet

Mesurer une chose, cĠest coordonner trois entitŽs : une chose ˆ mesurer, une Žchelle de mesure, un rapport entre les deux.

Dans notre exemple, mesurer une Žtendue, cĠest coordonner cette Žtendue, une Žchelle ad hoc et une manire de rapporter cette Žchelle ˆ cette Žtendue.

Scinder la notion de surface

On pressent combien la chose a pu longtemps rester obscure tant que lĠon parlait simplement de Ç surface È puisque le mme mot nommait alors indiffŽremment lĠŽtendue gŽomŽtrique ˆ mesurer et sa mesure arithmŽtique – si vous dites : Ç je vais cultiver ce champ en surface de ce coteau et sa surface cultivable est de 10 hectares È, vous avez appelŽ par le mme mot Ç surface È lĠŽtendue concrte et sa mesure en hm2 – vous auriez dž plut™t dire : Ç je vais cultiver ce champ Žtendu sur ce versant et la mesure de son Žtendue est de 10 hectares È.

 

DŽmler lĠimbroglio engendrŽ par le fait que le mme mot Ç surface È portait un double sens (un objet gŽomŽtrique et son aire) a nŽcessitŽ de scinder ce mot, les mathŽmaticiens parlant dŽsormais de variŽtŽ (ˆ deux dimensions) pour dŽsigner lĠŽtendue gŽomŽtrique concernŽe, et de mesure pour dŽsigner lĠopŽration qui quantifie numŽriquement lĠŽtendue de cette variŽtŽ.

Ce type dĠimbroglio est dĠune grande gŽnŽralitŽ en mathŽmatique : les Grecs – on lĠa vu la dernire fois [33] - pensaient en effet quĠˆ toute grandeur gŽomŽtrique correspondait un nombre arithmŽtique (car pour eux, depuis Pythagore, lĠtre Žtait nombre et donc tout Žtant devait avoir pour correspondant naturel un et un seul nombre [34]).

La notion de grandeur renvoyait ˆ la gŽomŽtrie – la grandeur dĠune ligne Žtait sa longueur, celle dĠun domaine Žtait sa surface (son aire)É - quand celle de nombre renvoyait ˆ lĠarithmŽtique : un nombre Žtait obtenu par multiplications et divisions de 1 [35] soit ce quĠon appelle les nombres rationnels.

Or les Grecs ont dŽcouvert que des grandeurs trs simples ˆ construire gŽomŽtriquement – la diagonale dĠun carrŽ de c™te unitŽ - ne pouvaient tre nombrŽes dans le cadre de leurs nombres (rationnels). Ainsi se creusait un gouffre entre deux types de quantitŽs : les grandeurs et les nombres - autant dire un gouffre en gŽomŽtrie et arithmŽtique.

La question de la mesure creuse un gouffre de mme type : la grandeur gŽomŽtrique dĠun domaine donnŽ nĠa aucune raison dĠen fournir une mesure commune !

IntŽgrer implique donc de mesurer, et mesurer implique de scinder et dŽplier la double signification du mot Ç surface È (ou de Ç longueur È, ou de Ç volume È) : dĠun c™tŽ lĠŽtendue, de lĠautre la mesure de cette Žtendue.

ƒclaircissements

Si nous nous disposons ici Ç ˆ la lumire des mathŽmatiques È - vieille orientation de pensŽe, de Platon ˆ LautrŽamont en passant par Khaw‰rizmi et RameauÉ -, quĠest-ce que cette mathŽmatique de lĠintŽgration et donc de la mesure peut Žclairer [36] dans nos propres domaines de pensŽe non mathŽmatique ?

En musiqueÉ

Sur la base de cette thŽorie, jĠai pu engager une thŽorie de lĠaudition musicale (conue comme intŽgration de lĠexŽcution donnŽe dĠune partition de musique prŽcise) et distinguer trois auditions cumulativement ordonnŽes :

1.     une premire audition spontanŽe ou na•ve, analogue ˆ une intŽgrale de Riemann ;

2.     une deuxime audition savante, analogue ˆ une intŽgrale de Lebesgue ;

3.     enfin une troisime audition ajustŽe ou ad hoc, analogue ˆ lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock, audition qui sera la dernire et donc la bonne. [37]

Plus largementÉ

On y a suffisamment insistŽ : lĠidŽe principale ˆ retenir de cet Žclairage mathŽmatique concerne moins lĠopŽration de totalisation que celle de mesure : pour totaliser un travail, pour sommer un effort, il faut, implicitement ou explicitement, dŽcider comment mesure va tre prise du domaine concernŽ par et pour ce travail spŽcifique.

O lĠon voit donc que les dŽbats et scissions vŽritables portent sur la mesure des choses ˆ travailler, et cĠest pour cela que ce genre de dŽbats est en gŽnŽral sans issue consensuelle, car il faut choisir entre au moins trois possibilitŽs : cette mesure sera-t-elle naturelle et commune non seulement ˆ toute chose mais ˆ tout travail sur une mme chose (Riemann) ou sera-t-elle au contraire fonction non seulement de la chose particulire mais de la spŽcificitŽ du travail ˆ effectuer sur cette chose particulire ? Et si cette seconde orientation est retenue, la mesure spŽcifique ˆ inventer ad hoc procdera-t-elle dĠun calcul dĠefficacitŽ basŽ sur les rŽsultats du travail (Lebesgue) ou plut™t dĠune jauge fixant en dŽtail et spŽcifiquement la qualitŽ du travail effectuŽ (Kurzweil-Henstock) ? Il faut donc choisir entre partir du domaine – ou de la matire – ˆ travailler, partir des rŽsultats effectifs du travail ou partir du travail lui-mme en sa spŽcificitŽ.

Et, dans une situation non-mathŽmatique, ce nĠest pas exactement parce que mathŽmatiquement lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock subsume et Žtend les deux prŽcŽdentes que dans une situation concrte donnŽe la troisime voie sera pour autant en Žtat dĠunifier les deux autres : il nĠira nullement de soi que la voie de la singularitŽ, assumŽe comme telle (celle de la jauge singulire propre ˆ Kurzweil-Henstock) sera ˆ mme de rŽduire les rŽsistances de la voie attachŽe ˆ la gŽnŽralitŽ uniforme (celle de Riemann) ou de la voie attachŽe ˆ Ç la culture des rŽsultats È (celle de Lebesgue).

 

Au total, retenons a minima de tout ceci lĠidŽe suivante : les confrontations vŽritables opposent des orientations suffisamment diffŽrentes pour quĠelles nĠaient pas de mesure commune susceptible de rŽgler leur diffŽrend.

Les oppositions rŽelles – celles qui comptent et qui ne relvent pas du semblant (disons des dŽbats dĠopinions parlementaires entre gauche et droite) - confrontent diffŽrentes logiques de mesure, et non pas diffŽrentes mises en Ïuvre dĠune mme logique.

Ici, pour mesurer un travail, il faut dŽcider entre le mesurer ˆ la matire quĠil a transformŽe, ˆ ses rŽsultats ou aux qualitŽs mmes – finesse, variŽtŽÉ -  de son activitŽ en soi.

 

Et dĠailleurs, le travail mme de cette leon auquel nous venons ensemble de nous livrer ne pourrait-il pas tre Žgalement ŽvaluŽ selon trois logiques diffŽrentes – ce qui nĠest pas forcŽment toujours dire divergentes : selon le champ des questions quĠil a couvertes, selon la pertinence des idŽes quĠil a dŽgagŽes ou, de manire moins utilitaire, moins fonctionnelle mais finalement plus gratuite, pour lĠintŽrt intrinsque dĠun travail de la pensŽe menŽ ˆ la lumire des mathŽmatiques ?

 

Je vous en laisse juge !

Annexes techniques

Trois intŽgrales

IntŽgrale de Riemann

Dans lĠintŽgrale simple de Riemann, x intervient simultanŽment sous quatre formes :

1)    il caractŽrise le domaine par x=a et x=b ;

2)    il caractŽrise le point x dans f(x) ;

3)    il indique que lĠŽlŽment dĠintŽgration va se faire selon le pas dx ;

4)    il donne – indistinctement - la mesure de ce pas.

Or ces formes distinguables sont en partie sŽparables, principalement les deux dernires – ce que nous avons proposŽ prŽcŽdemment de faire en remplaant dx par µ(ĥx).

IntŽgrale Lebesgue

Dans lĠintŽgrale de Lebesgue, x va quasiment dispara”tre puisque la mme somme de la mme fonction sur le mme domaine va dŽsormais sĠŽcrire ainsi :

Ici :

1)    le domaine est dŽfini par les extremums de Ä : y=m et y=M ;

2)    le point est dŽfini directement comme y ;

3)    le pas dy de lĠŽlŽment dĠintŽgration est dŽsormais relatif ˆ y ;

4)    enfin sa mesure µ variable se fait selon x : µx

IntŽgrale de Kurzweil-Henstock

Voici succinctement les dŽfinitions techniques utilisŽes pour dŽfinir lĠintŽgrale de Kurzweil-Henstock.

á       Une subdivision pointŽe P de lĠintervalle dĠintŽgration est la donnŽe dĠune subdivision Ii (partageant cet intervalle) et dĠun pointage de cette partition (cĠest-ˆ-dire la donnŽe dĠun point ti par sous-intervalle Ii).

Un point par intervalle Ii va fixer la hauteur Ä(ti) retenue pour Žvaluer la surface du petit rectangle de base : |Ii|.Ä(ti)

á       La somme de Riemann de la fonction Ä associŽe ˆ cette subdivision pointŽe P est la quantitŽ S(Ä,P)=·|Ii|.Ä(ti)

Cette somme approxime classiquement lĠintŽgrale par addition de petits rectangles.

á       Une jauge ĥ est une fonction dŽfinie sur lĠintervalle dĠintŽgration ˆ valeurs rŽelles strictement positives et finies.

CĠest une fonction ĥ  donc le principe est de prendre mesure de lĠirrŽgularitŽ de la fonction Ä sur lĠintervalle de dŽpart : plus la fonction Ä sera localement irrŽgulire, plus la fonction-jauge ĥ sera importante en sorte que la subdivision retenue en cet endroit soit fine.

á       Une subdivision pointŽe P sera dite adaptŽe ˆ la jauge ĥ (ou ĥ-fine) si, pour tout 1²i²n, on a

Ii [ti - ĥ(ti)/2, ti + ĥ(ti)/2]

Tout intervalle de P se trouve inclus dans un intervalle dŽlimitŽ autour de ti par la jauge ĥ.

á       La fonction Ä sera dite intŽgrable sur lĠintervalle retenu sĠil existe un nombre rŽel S tel que, ε>0, une jauge ĥε telle que, subdivision ĥε-fine P, on ait |S(f,P) – S|<ε.

On peut approximer S dĠaussi prs quĠon veut par les sommes de Riemann des subdivisions pointŽes adaptŽes ˆ une jauge ĥ adŽquate au degrŽ de prŽcision ε souhaitŽ.

Petite bibliographie

MathŽmatiques

á       Jean Mawhin : Analyse. Fondements, techniques, Žvolution (De Boeck UniversitŽ, Bruxelles, 1992)

á      Jean-Yves Briend : Petit traitŽ dĠintŽgration (edp sciences, 2014)

Histoire de lĠintŽgration

á   Henri Lebesgue : Message dĠun mathŽmaticien (Albert Blanchard, Paris, 1974 ; p. 71)

á   Jean-Paul Pier : Histoire de lĠintŽgration. Vingt-cinq sicles de mathŽmatiques (Masson, Paris, 1966)

á   Alain Michel : Constitution de la thŽorie moderne de lĠintŽgration (Vrin, Paris, 1992)

Philosophie

á       Albert Lautman : LĠaxiomatique et la mŽthode de division (in Les mathŽmatiques, les idŽes et le rŽel physique, Vrin, 2006)

 

***



[1] Remarque latŽrale : quelle meilleure mŽtonymie du basculement de la France mitterrandienne que la date de 1992 qui voit simultanŽment fermer dŽfinitivement lĠusine Renault de Billancourt et ouvrirÉ Disneyland ˆ Marne-la-VallŽe !

[2] On sommera pices et voitures en posant par exemple que lĠunitŽ de compte est la voiture et que telle pice – un sige par exemple - reprŽsente 1/26Ħ de voiture et telle autre – le moteur - 1/7Ħ.

[3] Les nombres x Ç travaillŽs È par la fonction Ä sont ici reprŽsentŽs horizontalement (sur lĠaxe dit des abscisses) et les nombres y engendrŽs par la mme fonction sont reprŽsentŽs verticalement (sur lĠaxe dit des ordonnŽes).

[4] Les mathŽmaticiens appellent cette surface lĠhypographe de la fonction.

[5] autour de 1850, mais Cauchy avait, ds 1820, amorcŽ la rŽflexion.

[6] Bernard Riemann (1826-1866)

[7] On ne fait que lĠapprocher car Ä(x) ne dŽsigne ici quĠune valeur moyenne de Ä sur lĠintervalle Ĉx.

[8] Il construit, pour ce faire, des sŽries minorantes et majorantes (correspondant ˆ des fonctions dites Ç en escalier È) qui encadrent la sŽrie initiale puis dŽgage dans quelles conditions ces sŽries convergent vers la mme limite.

[9] Comme on le voit, le signe · devient le signe ş ˆ mesure de ce que le signe Ĉ devient le signe ĥ

[10] Rappelons la trs longue et originelle histoire de cette division mathŽmatique de la notion de quantitŽ : dĠun c™tŽ des grandeurs gŽomŽtriques, de lĠautres des nombres arithmŽtiques. Comme lĠon sait, la crise grecque des irrationnelles a prŽcisŽment portŽ sur le fait que ces deux mondes (celui des grandeurs et celui des nombres) se rŽvŽlaient non isomorphes puisque certaines grandeurs gŽomŽtriques (la diagonale du carrŽ) nĠŽtaient pas numŽrisables (dans le cadre de la thŽorie mathŽmatique existante : celle des nombres rationnels). Ainsi grandeur se disait de deux faons qui ne se recouvraient que partiellement, et la mathŽmatique Žtait divisŽe en deux continents hŽtŽrognes : celui (axiomatique) de la gŽomŽtrie et celui (calculatoire) de lĠarithmŽtiqueÉ Ce sera une trs longue ŽpopŽe collective (plus de deux millŽnaires) que de rŽunifier les mathŽmatiques en une seule discipline !

[11] Il faudrait donc Žcrire rigoureusement :

şDÄ(x).µ(ĥx)

şD dŽsigne la Ç somme È sur tout lĠintervalle D du produit Ä(x).µ(ĥx), µ(ĥx) dŽsignant ici la mesure µ dĠun petit bout ĥx de D.

Dans le cas dĠun domaine D ˆ deux dimensions (dont tout point p est alors paramŽtrable par un couple {x, y}), on Žcrirait de mme :

şD Ä(p).µ(ĥD)

şD dŽsigne la Ç somme È sur tout D du produit Ä(p).µ(ĥD), p dŽsignant ici un point variable de D et µ(ĥD) la mesure µ dĠun petit bout ĥD de D.

[12] vers 1900

[13] Henri Lebesgue (1875-1941)

[14] Cette mesure particulire sera dite de Lebesgue.

GŽnŽralement, une mesure est une fonction qui, ˆ toute partie (dĠune famille donnŽe de parties sur un ensemble donnŽ - ici les intervalles de la droite rŽelle), associe un nombre rŽel positif, fonction telle que dĠune part lĠensemble vide (ici lĠintervalle rŽduit ˆ un simple point) a une mesure nulle, et dĠautre part fonction dŽnombrablement additive (cĠest-ˆ-dire telle que la mesure dĠune union dŽnombrable de parties est la somme des mesures de ces parties).

[15] Cette relation est non fonctionnelle car, en gŽnŽral, ˆ un y donnŽ ne correspond pas un et un seul x tel que Ä(x)=y : sur notre dessin, on voit ainsi quĠil y a trois x diffŽrents tels que Ä(x)=y pour tout y prŽlevŽ dans notre intervalle Ĉy.

[16] CĠest ici quĠintervient la mesure par Ç image rŽciproque ÈÉ

[17] Ç approchŽe È ˆ nouveau car y ne dŽsigne ici quĠune valeur moyenne de y=Ä(x) sur lĠintervalle Ĉy.

[18] Pour peu quĠelles restent dŽnombrables, leur mesure sera nulle.

[19] ce qui permet de traiter pour quantitŽ nŽgligeable le travail fourni par la fonction en un point x de discontinuitŽ : on dira alors que les points de discontinuitŽ sont de mesure nulle.

Ainsi, une des consŽquences capitales de la thŽorie de la mesure tient ˆ la dŽfinition des ensembles de mesure nulle lesquels vont devenir nŽgligeables pour nos problmes dĠintŽgration : ainsi, tant que les points Ç aberrants È restent dŽnombrables, les valeurs de la fonction Ä en ces points ne compteront plus pour lĠintŽgration en sorte que deux fonctions Ç presque partout È identiques (cĠest-ˆ-dire ne diffŽrant que sur un ensemble de mesure nulle) auront mme intŽgrale.

[20] Comme on le voit, cette manire dĠintŽgrer Ç selon lĠaxe vertical È efface toute occurrence de la variable horizontale x, pourtant omni-prŽsente dans lĠintŽgrale de Riemann. Ce faisant, cette nouvelle manire rŽvle la diversitŽ des r™les jouŽs dans lĠintŽgrale prŽcŽdente par une seule et mme lettre Ç x È. Albert Lautman a consacrŽ quelques pages particulirement pŽnŽtrantes ˆ cette diffŽrenciation des r™les de x dans lĠintŽgrale de Riemann – voir la premire annexe technique de cette leonÉ

[21] Elle a ŽtŽ rŽtrospectivement explicitŽe comme mesure dite de Jordan.

[22] Difficile, bien sžr, dĠimaginer pour nous en quoi une quatrime Žtape pourrait ici consister ! CĠest pour nous aussi difficile ˆ imaginer quĠil lĠest dĠimaginer la musique du futur - voir ˆ ce titre lĠinsanitŽ des musiques censŽes tre ŽcoutŽes par les personnages du futur reprŽsentŽs dans les films de science-fiction : comment le reprocher aux rŽalisateurs concernŽes puisque qui saurait imaginer la musique du futur en aurait toujours dŽjˆ fait la musique du prŽsent !

[23] 1957-1961

[24] Jaroslav Kurzweil (1926) et Ralph Henstock (1923)

[25] LĠintŽgrale de Riemann procde implicitement dĠune telle jauge monotone, uniforme et indŽpendante de la fonction : elle intgre donc toutes les courbes comme sĠil sĠagissait de simples droites.

[26] Le caractre local de cette fonction-jauge ĥ(x) la rapproche ainsi du type Ç fonction dŽrivŽe È telle ÄĠ(x) - mme si la jauge nĠest pas cette dŽrivŽe, dŽrivŽe en gŽnŽral partiellement inexistante pour Ä.

Notons ce point de grande importance conceptuelle : quĠune fonction locale puisse tre partout dŽfinie – comme lĠest notre jauge – nĠen fait pas pour autant une fonction globale ; en effet, une propriŽtŽ globale nĠest pas la gŽnŽralisation dĠune propriŽtŽ locale, et une vraie globalisation ne saurait tre une simple totalisation ou gŽnŽralisation.

La leon politique de ce point est aujourdĠhui Žvidente : le Ç totalitarisme dŽmocratique È dĠun capitalisme dŽsormais mondialisŽ - dŽmocratie des marchandises et des capitaux, des monnaies et des opinions – ne constitue aucunement par lui-mme un monde global mais un espace dĠapartheid gŽnŽralisŽ pour les hommes, interdits de librement circuler par dĠinnombrables murs (lˆ o les objets et les monnaies circulent ˆ loisir).

[27] Voir par exemple le stakhanovismeÉ

[28] celui-lˆ mme que pratiquait les premiers chrŽtiens (du temps, prŽ-Constantinien, o ceux-ci restaient ˆ distance subjective de lĠƒtat)

[29] si tant est quĠil sĠagit bien ici dĠŽtapes, ce quĠil nĠy a plus du tout lieu de soutenir en ce dŽbut de XXIĦ sicle. Au demeurant la question de la juste mesure quantitative du travail productif ne constitue pas nullement la pierre de touche politique opposant capitalisme et communisme. Mais tout ceci est une autre affaire que celle mathŽmatique du jourÉ

[30] La somme des rŽsultats dĠune fonction en tout point dĠun domaine limitŽ serait automatiquement infinie (si la fonction nĠest pas presque partout nulle) puisque le nombre de points dĠun tel domaine est lui-mme infini : comme il y aurait alors une infinitŽ de valeurs de f(x) ˆ prendre en compte, notre somme serait de valeur infinieÉ

[31] Remarquons au passage que la surface (en m2) du toit, a priori plane, nĠaura pas la mme aire que la surface de la piste de ski, bosselŽe et irrŽgulireÉ

[32] Les mathŽmaticiens parlent ici de Ç variŽtŽ È, ce qui a pour avantage de ne pas confondre, sous le mme mot Ç surface È, lĠobjet gŽomŽtrique ˆ deux dimensions et son Žtendue mesurŽe en m2 (cette aire quĠon appelle courammentÉ sa surface !). O lĠon retrouve lĠimportance de scinder la notion gŽnŽrale de quantitŽ en celles de grandeur gŽomŽtrique et de nombre arithmŽtiqueÉ

[33] Voir leon nĦ5 sur adjonction-extensionÉ

[34] un nombre alors rationnel puisque pour les Grecs seuls les nombres rationnels Žtaient des nombres car seuls les nombres rationnels pouvaient sĠobtenir par combinaison (addition-soustraction et multiplication-division) de lĠunitŽ.

[35] lequel nĠŽtait pas un nombre mais prŽcisŽment le fondement exogne de la numŽration : le nombrant ne pouvait tre nombrŽÉ par lui-mme.

[36] Je dis Ç Žclairer È cĠest-ˆ-dire guider, orienter et non pas rŽgir par simple application.

[37] DĠo le titre donnŽ ˆ ce travail : Ç La troisime audition est la bonne ! È.

On trouvera le dŽtail de cette thŽorisation dans le premier volume de mon livre Le monde-Musique consacrŽ ˆ une thŽorie de lĠŽcoute musicale (o lĠŽcoute musicale, prŽcisŽment, ne se rŽduit nullement ˆ une audition, donc ˆ une totalisation).