Un thŽorme dĠAndrŽe Ehresmann

(Qui-vive, 26 septembre 2013)

 

Franois Nicolas

 

Ë quelles conditions une nouvelle structure peut-elle Žmerger sur la base dĠune premire structure ? Non pas comment une nouvelle structure peut remplacer une structure ancienne, mais plut™t comment peut-elle sĠy superposer de manire autonome ? Autrement dit, comment une superstructure peut-elle Žmerger au-dessus dĠune infrastructure ?

 

Cette question, abstraitement formulŽe, peut se dŽcliner de bien des faons.

Pensons au marxisme traditionnel qui stratifiait infrastructure socio-Žconomique et superstructure idŽologico-politique.

Pensons ˆ la manire dont une conscience individuelle peut Žmerger dans un cerveau sur la base des Žchanges neuronaux.

Pensons ˆ ces phŽnomnes proprement collectifs – groupes, foules, Žquipes, organisationsÉ - dont la logique propre Žmerge sur la base de comportements individuels.

Ë chaque fois, la notion dĠŽmergence va reposer sur lĠidŽe que lĠordre supŽrieur nĠest pas transitif ˆ lĠordre infŽrieur, nĠest pas rŽductible ˆ la combinaison de ce qui se passe en-dessous : on ne peut plus comprendre les phŽnomnes de la superstructure collective par simple dŽcomposition dans son infrastructure.

 

Comme nous allons le voir, il en va ici dĠune conception de lĠŽmancipation par adjonction dĠun niveau, non par dŽtachement.

 

Fixons-nous un petit lexique : on dira que les acteurs de lĠinfrastructure sont des individus et que ceux de la superstructure sont des collectifs.

Dire quĠun ordre propre Žmerge dans la superstructure, cĠest dire que les rapports entre collectifs peuvent tre autonomes des rapports entre individus. Et dire quĠils sont autonomes, cĠest dire, non seulement quĠils sont diffŽrents mais quĠils ne se composent pas comme les premiers, quĠon ne peut dŽduire les uns ˆ partir des autres.

Par exemple, bien des rapports entre deux Žquipes sportives ne seront plus intelligibles par dŽcomposition de ces Žquipes en leurs ensembles dĠindividus mais procderont dĠune logique de groupe, non rŽductible ˆ la combinaison de comportements individuels.

De mme bien des rapports entre diffŽrents phŽnomnes de conscience dans le mme cerveau ne seront plus intelligibles comme simples rapports entre zones neuronales concernŽes : les phŽnomnes de conscience conserveront bien leur base neuronale, mais leur logique propre ne sera plus analysable selon une simple logique neuronale.

 

La notion dĠŽmergence vient ainsi fixer une sŽparation entre ordres hiŽrarchiquement corrŽlŽs : la superstructure a beau tre lĠaffaire de collectifs constituŽs dĠindividus, les rapports entre ces collectifs sĠŽmancipent des rapports entre individus pour composer un nouvel espace.

 

Notre question va tre : dans quelles conditions une telle Žmergence peut-elle se produire ?

Nous parlerons ce soir dĠune seule dĠentre elles : une condition nŽcessaire pour quĠil puisse y avoir un tel type dĠŽmergence, une condition que la mathŽmatique contemporaine vient clarifier sous la forme dĠun thŽorme dž ˆ AndrŽe Ehresmann.

 

Ce thŽorme est rŽcent – il date de 1996 – et il est lĠÏuvre [1] dĠune mathŽmaticienne franaise [2] spŽcialisŽe dans la thŽorie des catŽgories.

CĠest ce quĠon pourrait appeler un Ç petit È thŽorme, qui se situe ˆ lĠexact opposŽ du Ç grand È thŽorme dĠHironaka prŽsentŽ en juin dernier : ce petit thŽorme ne bouleverse pas les mathŽmatiques, ni dans leur ensemble ni mme ˆ Žchelle dĠune thŽorie donnŽe ; il ne relve pas de mathŽmatiques fondamentales mais plut™t de mathŽmatiques prŽdisposŽes en vue de telle ou telle application.

Le prŽsenter aujourdĠhui, aprs avoir prŽsentŽ en juin le considŽrable thŽorme dĠHironaka, nous permettra ainsi de prendre mesure du vaste empan thŽorique des mathŽmatiques.

 

Le temps que nous consacrons lors de ces soirŽes ˆ lĠactualitŽ mathŽmatique nĠautorise pas de longs dŽveloppements et ne permet malheureusement pas de rentrer dans un dŽdale dŽmonstratif, pourtant dŽcisif pour la rationalitŽ mathŽmatique (les mathŽmatiques naissent avec la dŽmonstration, non avec le seul calcul, et cĠest un constant sujet de rŽvolte que de voir lĠŽcole interdire aujourdĠhui les dŽmonstrations ˆ ses Žlves pour mieux les cantonner ˆ lĠapplication technique de simples calculs).

Nous prŽsenterons ce soir lĠidŽe directrice de ce thŽorme sans entrer dans son dŽtail – nous tenons ˆ la disposition de chacun les articles permettant de se lĠapproprier plus avant ; cĠest lĠavantage dĠun Ç petit È thŽorme : un profane peut en faire le tour et Žprouver ainsi la joie de le faire entirement sien.

 

Techniquement formulŽ, ce thŽorme dit trs exactement ceci (en une langue un peu bizarre mais nous allons voir que la chose est en vŽritŽ assez simple) :

Ç Dans une catŽgorie hiŽrarchique, le Principe de MultiplicitŽ est une condition nŽcessaire pour qu'il existe des objets d'ordre de complexitŽ strictement supŽrieur ˆ 1. È

Reformulons cela dans notre lexique : pour que les relations superstructurelles entre collectifs soient ŽmancipŽes des relations infrastructurelles entre individus, il faut quĠil y ait des collectifs qui collectivisent, sous le mme nom, des groupes entirement diffŽrents et disjoints dĠindividus. Il faut que des groupes entirement indŽpendants soient, dans la superstructure, reprŽsentŽs par un mme nom.

 

Formalisons tout ceci.

Partons dĠune situation de dŽpart – notre future infrastructure – faite dĠindividus reliŽs entre eux par diffŽrents rapports [3].

Admettons que, dans cette situation, toute partie a un ŽlŽment qui va la reprŽsenter : disons un ŽlŽment qui exemplifie les propriŽtŽs communes aux diffŽrents ŽlŽments de cette partie, un ŽlŽment spŽcifiŽ qui concentre le trait diffŽrenciant cette partie de tout autre – pour suivre la mŽtaphore sportive, une sorte de capitaine dĠŽquipe, tŽmoignant exemplairement des qualitŽs sportives propres ˆ cette Žquipe. Appelons cet ŽlŽment-phare qui rŽsume la partie concernŽe son ŽlŽment-limite [4].

Construisons maintenant une nouvelle situation qui ne sera composŽe que de ces ŽlŽments-limite et de leurs rapports rŽciproques – dans notre image sportive, un rassemblement des capitaines dĠŽquipe. Ce sera lˆ notre nouvelle superstructure.

Dessinons ainsi cette superposition hiŽrarchique – lĠinfrastructure est en bas et la superstructure sĠŽdifie sur cette base :

Description : Macintosh HD:Users:francoisnicolas:Desktop:Émergence1.jpeg

A priori, les relations superstructurelles entre ŽlŽments-limite restent dŽcomposables selon les relations infrastructurelles quĠentretiennent les ŽlŽments concernŽs. Ainsi, dans notre schŽma, les ŽlŽments-limite A et B sont reliŽs car leurs bases collectives le sont ; tout de mme pour C et D. Par contre, A et B dĠun c™tŽ, C et D de lĠautre sont ici sans rapport car leurs bases respectives sont sans rapports.

A priori donc, la superstructure reste transitive ˆ lĠinfrastructure puisque les relations dĠen haut restent dŽcomposables et analysables dans des relations dĠen bas.

 

Ce que nous dit alors notre thŽorme, cĠest que la situation change du tout au tout sĠil se trouve des ŽlŽments-limite qui se trouvent tre limite ˆ la fois de deux parties entirement disjointes dans lĠinfrastructure, ce qui pourra se dessiner ainsi :

Description : Macintosh HD:Users:francoisnicolas:Desktop:Émergence2.jpeg

Les ŽlŽments B et C sont devenus confondus alors mme que leurs bases collectives sont restŽes disjointes.

Imaginez pour cela une assemblŽe des 50.000 personnes qui en France se parent du titre de prŽsident (cela va du PrŽsident de la RŽpublique au prŽsident dĠun quelconque conseil syndical) et imaginez quĠune mme personne de cette noble assemblŽe se trouve, par le plus grand hasard, tre deux fois prŽsidents, tre simultanŽment prŽsident de deux collectifs sans aucuns rapports entre eux : par exemple prŽsident dĠun immeuble dĠun c™tŽ et prŽsident dĠune association 1901 ˆ lĠautre bout du pays. Voilˆ un exemple de ce quĠon appellera un ŽlŽment-limite polyvalent ou, pour parler comme le thŽorme, multiple.

Que se passe-t-il alors ? Il se passe que le rŽseau des relations superstructurelles entre ŽlŽments-limite va tre dotŽ de relations spŽcifiques qui nĠont plus aucun Žquivalent dans lĠinfrastructure.

Ainsi, dans notre diagramme prŽcŽdent, non seulement A reste reliŽ ˆ BC (par B) et BC ˆ D (par C) mais A sĠy trouve dŽsormais reliŽ ˆ D par la composition des deux liens prŽcŽdents lors mme que les bases collectives concernŽes continuent de sĠignorer dans lĠinfrastructure.

 

Le thŽorme nous dit alors que lĠexistence de tels ŽlŽments-limite multiples est une condition nŽcessaire pour quĠune superstructure autonome Žmerge, ŽmancipŽe de lĠinfrastructure et rendue alors incomprŽhensible ˆ partir de sa seule base.

 

On peut se figurer cette Žmergence sous lĠeffet dĠun froissement : imaginons un patchwork fait de tissus disparates et donnons ˆ chacune de ses pices la forme dĠun c™ne en Žtirant son centre vers le haut. Rapprochons maintenant certains de ces sommets au point de les confondre et de connecter ainsi, par leurs seuls sommets, des pices entirement disjointes dans le tissu de dŽpart. La superstructure obtenue, composŽe des diffŽrentes pointes, ressemblera ˆ notre ordre Žmergent puisque de nouvelles relations y appara”tront qui nĠauront plus dĠŽquivalent dans le patchwork de base.

Tout de mme, notre assemblŽe de PrŽsidents va rapporter tel collectif sportif et tel collectif dĠhabitants par leur sommet lors mme quĠˆ leur base, les individus concernŽs ne partagent aucune activitŽ et ne se connaissent mme gure.

Prenons une troisime image : celle dĠun champ de roseaux. LĠextrŽmitŽ de chaque roseau peut tre vue comme faisant limite du bout de terrain qui enserre la racine de chacun pour le fertiliser et lĠhydrater. Tant que chaque roseau reste bien droit ou tant que tous les roseaux gardent la mme inclinaison, la superstructure du champ – cette surface supŽrieure que lĠon peroit globalement faute de discerner le sol – va reflŽter fidlement lĠinfrastructure du sol. Mais si le vent y met du sien et vient froisser ce champ, alors lĠapparence de cette surface fera Žmerger des formes qui ne seront plus rapportables ˆ celles du sol - le cinŽma japonais aime ˆ jouer de ces images :

Description : Macintosh HD:Users:francoisnicolas:Desktop:onibaba1.jpgDescription : Macintosh HD:Users:francoisnicolas:Desktop:onibaba2.jpg`

(Onibaba, Kaneto Shindō – 1964)

On pourrait multiplier les images, par exemple musicales : si un collectif de notes est un accord, alors la hauteur supŽrieure de cet accord sera en position dĠŽlŽment-limite et la mŽlodie qui dŽcoulera des rapports entre ces notes supŽrieures occupera la position de superstructure par rapport ˆ lĠinfrastructure harmonique, et, dans certaines conditions, cette mŽlodie pourra en effet sĠautonomiser des encha”nements harmoniques qui continuent pourtant de la gŽnŽrer.

Description : Macintosh HD:Users:francoisnicolas:Desktop:Capture dĠécran 2013-09-18 à 16.16.52.png

On peut rŽsumer ce processus en disant que ce type de froissements ouvre lĠaccs ˆ une nouvelle structure par le fait mme de fermer lĠaccs ˆ lĠancienne. Ainsi pour ouvrir dĠun c™tŽ – ici vers le haut -, il faut payer le prix en fermant dĠun autre – ici vers le bas.

Pour ouvrir ˆ une nouvelle situation, il faut refermer lĠancienne situation sur elle-mme ; il faut en quelque sorte bržler ses vaisseaux pour pouvoir sĠimmerger, sans retour, dans la nouvelle situation.

 

Ce thŽorme – cĠest son intŽrt -  engage un matŽrialisme de lĠŽmergence : il y a bien une hiŽrarchie rationnelle des ordres emboitŽs et ce nĠest pas parce quĠun ordre repose sur une base matŽrielle donnŽe que sa logique propre dŽcoulera de la premire.

á       Ainsi la musique repose sur lĠacoustique sans que pour autant ses lois propres en dŽcoulent strictement.

á       Tout de mme pour la politique par rapport aux collectifs sociaux quĠelle mobilise.

á       Tout de mme, plus gŽnŽralement entre sujets composŽs de collectifs dĠindividus : les lois psychologiques, sociologiques, anthropologiques qui prŽvalent entre individus humains concernŽs ne rendent plus compte de ce qui passe dans la sphre des sujets proprement dits, en particulier en matire dĠintersubjectivitŽ.

Ce thŽorme enseigne en quelque sorte les vertus crŽatrices de lĠŽmancipation, non pas sous forme dĠune table rase – il ne sĠagit pas ici de raturer lĠinfrastructure - mais plut™t dĠune adjonction : lĠadjonction dĠun niveau composŽ sur des fondations inchangŽes - en quelque sorte, pas besoin de mutations gŽnŽtiques infrastructurelles pour changer lĠhomme : il suffit que sa conscience se trouve froissŽe et bouleversŽe par quelques larges vents dĠEst !

Ce thŽorme prouve ˆ sa manire quĠun champ de fleurs pour la pensŽe peut sĠŽmanciper sur un terrain dŽjˆ lˆ, ˆ notre disposition, pour peu que de grandes temptes viennent en bouleverser les reprŽsentations, en froisser lĠapparence, y crŽer des rapprochements inattendus et des rencontres imprŽvisibles, entrelacer ainsi – sans nouer ni coller – ce qui reste disjoints dans la base naturelle.

 

Que cent fleurs de ce type sĠŽpanouissent, nĠest-ce pas, en dŽfinitive, le projet Žmancipateur de ces sŽances Qui-vive ?

 

***



[1] en collaboration avec un mŽdecin biologiste J.-P. Vanbremeersch

[2] AndrŽe Ehresmann, nŽe AndrŽe Bastiani (1935)

[3] Ils sont normalement orientŽs, mais on peut, ˆ notre niveau ŽlŽmentaire, nŽgliger ce point dans un premier tempsÉ

[4] ou colimite, mais on ne rentrera pas ici dans cette distinction (qui renvoie ˆ la direction des rapports – Ç morphismes È - concernŽs)É